MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Unicode version

Theorem oion 7749
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oion  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oicl 7742 . 2  |-  Ord  dom  F
31oiexg 7748 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
4 dmexg 6508 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
5 elong 4726 . . 3  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord 
dom  F ) )
63, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord  dom  F
) )
72, 6mpbiri 233 1  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971   Ord word 4717   Oncon0 4718   dom cdm 4839  OrdIsocoi 7722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-recs 6831  df-oi 7723
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7755  wofib  7758  cantnfcl  7874  cantnflt2  7880  cantnflem1  7896  cantnfclOLD  7904  cantnflt2OLD  7910  cantnflem1OLD  7919  wemapwe  7927  wemapweOLD  7928  cnfcom2  7934  cnfcom3lem  7935  cnfcom3  7936  cnfcom2OLD  7942  cnfcom3lemOLD  7943  cnfcom3OLD  7944  finnisoeu  8282  dfac12lem2  8312  cofsmo  8437  pwfseqlem5  8829  fz1isolem  12213
  Copyright terms: Public domain W3C validator