MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Unicode version

Theorem oion 7952
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oion  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oicl 7945 . 2  |-  Ord  dom  F
31oiexg 7951 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
4 dmexg 6707 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
5 elong 4881 . . 3  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord 
dom  F ) )
63, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord  dom  F
) )
72, 6mpbiri 233 1  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   Ord word 4872   Oncon0 4873   dom cdm 4994  OrdIsocoi 7925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-recs 7034  df-oi 7926
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7958  wofib  7961  cantnfcl  8077  cantnflt2  8083  cantnflem1  8099  cantnfclOLD  8107  cantnflt2OLD  8113  cantnflem1OLD  8122  wemapwe  8130  wemapweOLD  8131  cnfcom2  8137  cnfcom3lem  8138  cnfcom3  8139  cnfcom2OLD  8145  cnfcom3lemOLD  8146  cnfcom3OLD  8147  finnisoeu  8485  dfac12lem2  8515  cofsmo  8640  pwfseqlem5  9032  fz1isolem  12465
  Copyright terms: Public domain W3C validator