MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Unicode version

Theorem oion 7994
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oion  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oicl 7987 . 2  |-  Ord  dom  F
31oiexg 7993 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
4 dmexg 6714 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
5 elong 5417 . . 3  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord 
dom  F ) )
63, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord  dom  F
) )
72, 6mpbiri 233 1  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   dom cdm 4822   Ord word 5408   Oncon0 5409  OrdIsocoi 7967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-oi 7968
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8000  wofib  8003  cantnfcl  8117  cantnflt2  8123  cantnflem1  8139  cantnfclOLD  8147  cantnflt2OLD  8153  cantnflem1OLD  8162  wemapwe  8170  wemapweOLD  8171  cnfcom2  8177  cnfcom3lem  8178  cnfcom3  8179  cnfcom2OLD  8185  cnfcom3lemOLD  8186  cnfcom3OLD  8187  finnisoeu  8525  dfac12lem2  8555  cofsmo  8680  pwfseqlem5  9070  fz1isolem  12557
  Copyright terms: Public domain W3C validator