MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Unicode version

Theorem oiiso 7743
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiiso  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 4679 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  R Se  A )
2 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
32ordtype 7738 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
43ancoms 453 . 2  |-  ( ( R Se  A  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    _E cep 4625   Se wse 4672    We wwe 4673   dom cdm 4835    Isom wiso 5414  OrdIsocoi 7715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-recs 6824  df-oi 7716
This theorem is referenced by:  oien  7744  wofib  7751  cantnfle  7871  cantnflt  7872  cantnflt2  7873  cantnfp1lem3  7880  cantnflem1b  7886  cantnflem1d  7888  cantnflem1  7889  cantnfleOLD  7901  cantnfltOLD  7902  cantnflt2OLD  7903  cantnfp1lem3OLD  7906  cantnflem1bOLD  7909  cantnflem1dOLD  7911  cantnflem1OLD  7912  wemapwe  7920  wemapweOLD  7921  cnfcomlem  7924  cnfcom  7925  cnfcom3lem  7928  cnfcomlemOLD  7932  cnfcomOLD  7933  cnfcom3lemOLD  7936  infxpenlem  8172  finnisoeu  8275  dfac12lem2  8305  cofsmo  8430  fpwwe2lem6  8794  fpwwe2lem7  8795  fpwwe2lem9  8797  pwfseqlem5  8822  fz1isolem  12206
  Copyright terms: Public domain W3C validator