MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Unicode version

Theorem oiiso 7951
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiiso  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 4836 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  R Se  A )
2 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
32ordtype 7946 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
43ancoms 453 . 2  |-  ( ( R Se  A  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    _E cep 4782   Se wse 4829    We wwe 4830   dom cdm 4992    Isom wiso 5580  OrdIsocoi 7923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-recs 7032  df-oi 7924
This theorem is referenced by:  oien  7952  wofib  7959  cantnfle  8079  cantnflt  8080  cantnflt2  8081  cantnfp1lem3  8088  cantnflem1b  8094  cantnflem1d  8096  cantnflem1  8097  cantnfleOLD  8109  cantnfltOLD  8110  cantnflt2OLD  8111  cantnfp1lem3OLD  8114  cantnflem1bOLD  8117  cantnflem1dOLD  8119  cantnflem1OLD  8120  wemapwe  8128  wemapweOLD  8129  cnfcomlem  8132  cnfcom  8133  cnfcom3lem  8136  cnfcomlemOLD  8140  cnfcomOLD  8141  cnfcom3lemOLD  8144  infxpenlem  8380  finnisoeu  8483  dfac12lem2  8513  cofsmo  8638  fpwwe2lem6  9002  fpwwe2lem7  9003  fpwwe2lem9  9005  pwfseqlem5  9030  fz1isolem  12463
  Copyright terms: Public domain W3C validator