MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Unicode version

Theorem oiiso 7855
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiiso  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 4785 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  R Se  A )
2 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
32ordtype 7850 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
43ancoms 453 . 2  |-  ( ( R Se  A  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    _E cep 4731   Se wse 4778    We wwe 4779   dom cdm 4941    Isom wiso 5520  OrdIsocoi 7827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-recs 6935  df-oi 7828
This theorem is referenced by:  oien  7856  wofib  7863  cantnfle  7983  cantnflt  7984  cantnflt2  7985  cantnfp1lem3  7992  cantnflem1b  7998  cantnflem1d  8000  cantnflem1  8001  cantnfleOLD  8013  cantnfltOLD  8014  cantnflt2OLD  8015  cantnfp1lem3OLD  8018  cantnflem1bOLD  8021  cantnflem1dOLD  8023  cantnflem1OLD  8024  wemapwe  8032  wemapweOLD  8033  cnfcomlem  8036  cnfcom  8037  cnfcom3lem  8040  cnfcomlemOLD  8044  cnfcomOLD  8045  cnfcom3lemOLD  8048  infxpenlem  8284  finnisoeu  8387  dfac12lem2  8417  cofsmo  8542  fpwwe2lem6  8906  fpwwe2lem7  8907  fpwwe2lem9  8909  pwfseqlem5  8934  fz1isolem  12325
  Copyright terms: Public domain W3C validator