MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oif Structured version   Unicode version

Theorem oif 7845
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oif  |-  F : dom  F --> A

Proof of Theorem oif
Dummy variables  u  t  v  x  h  j  w  z  f 
i  r  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
41, 2, 3ordtypecbv 7832 . . . 4  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
5 eqid 2451 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }
6 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R  We  A )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
94, 2, 3, 5, 6, 7, 8ordtypelem5 7837 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  /\  F : dom  F --> A ) )
109simprd 463 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F --> A )
11 f0 5690 . . 3  |-  (/) : (/) --> A
126oi0 7843 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
1312dmeqd 5140 . . . . 5  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  dom  (/) )
14 dm0 5151 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2508 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  (/) )
1612, 15feq12d 5646 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( F : dom  F --> A  <->  (/) : (/) --> A ) )
1711, 16mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F --> A )
1810, 17pm2.61i 164 1  |-  F : dom  F --> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3068   (/)c0 3735   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   Se wse 4775    We wwe 4776   Ord word 4816   Oncon0 4817   dom cdm 4938   ran crn 4939   "cima 4941   -->wf 5512   iota_crio 6150  recscrecs 6931  OrdIsocoi 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-recs 6932  df-oi 7825
This theorem is referenced by:  oismo  7855  cantnfle  7980  cantnflt  7981  cantnfres  7986  cantnfp1lem3  7989  cantnflem1b  7995  cantnflem1  7998  cantnfleOLD  8010  cantnfltOLD  8011  cantnfp1lem3OLD  8015  cantnflem1bOLD  8018  cantnflem1OLD  8021  wemapwe  8029  wemapweOLD  8030  cnfcomlem  8033  cnfcom  8034  cnfcom3lem  8037  cnfcom3  8038  cnfcomlemOLD  8041  cnfcomOLD  8042  cnfcom3lemOLD  8045  cnfcom3OLD  8046  hsmexlem1  8696  hsmexlem2  8697  fpwwe2lem8  8905
  Copyright terms: Public domain W3C validator