MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oif Structured version   Unicode version

Theorem oif 7740
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oif  |-  F : dom  F --> A

Proof of Theorem oif
Dummy variables  u  t  v  x  h  j  w  z  f 
i  r  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
41, 2, 3ordtypecbv 7727 . . . 4  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
5 eqid 2441 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }
6 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
7 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R  We  A )
8 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
94, 2, 3, 5, 6, 7, 8ordtypelem5 7732 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  /\  F : dom  F --> A ) )
109simprd 460 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F --> A )
11 f0 5589 . . 3  |-  (/) : (/) --> A
126oi0 7738 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
1312dmeqd 5038 . . . . 5  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  dom  (/) )
14 dm0 5049 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  (/) )
1612, 15feq12d 5545 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( F : dom  F --> A  <->  (/) : (/) --> A ) )
1711, 16mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F --> A )
1810, 17pm2.61i 164 1  |-  F : dom  F --> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1364   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   Se wse 4673    We wwe 4674   Ord word 4714   Oncon0 4715   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   -->wf 5411   iota_crio 6048  recscrecs 6827  OrdIsocoi 7719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-recs 6828  df-oi 7720
This theorem is referenced by:  oismo  7750  cantnfle  7875  cantnflt  7876  cantnfres  7881  cantnfp1lem3  7884  cantnflem1b  7890  cantnflem1  7893  cantnfleOLD  7905  cantnfltOLD  7906  cantnfp1lem3OLD  7910  cantnflem1bOLD  7913  cantnflem1OLD  7916  wemapwe  7924  wemapweOLD  7925  cnfcomlem  7928  cnfcom  7929  cnfcom3lem  7932  cnfcom3  7933  cnfcomlemOLD  7936  cnfcomOLD  7937  cnfcom3lemOLD  7940  cnfcom3OLD  7941  hsmexlem1  8591  hsmexlem2  8592  fpwwe2lem8  8800
  Copyright terms: Public domain W3C validator