MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oiexg 8068
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiexg  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21ordtype 8065 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
3 isof1o 6234 . . . 4  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
4 f1of1 5827 . . . 4  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F : dom  F -1-1-> A
)
52, 3, 43syl 18 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F -1-1-> A )
6 f1dmex 6782 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  F  e. 
_V )
7 f1f 5792 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F : dom  F --> A )
8 fex 6155 . . . . . 6  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
97, 8sylan 479 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
106, 9syldan 478 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  F  e.  _V )
1110expcom 442 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F  e.  _V )
)
125, 11syl5 32 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
)
131oi0 8061 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
14 0ex 4528 . . 3  |-  (/)  e.  _V
1513, 14syl6eqel 2557 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
1612, 15pm2.61d1 164 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   (/)c0 3722    _E cep 4748   Se wse 4796    We wwe 4797   dom cdm 4839   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588    Isom wiso 5590  OrdIsocoi 8042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-oi 8043
This theorem is referenced by:  oion  8069  oien  8071  cantnfval  8191  wemapwe  8220  finnisoeu  8562  cofsmo  8717
  Copyright terms: Public domain W3C validator