MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Unicode version

Theorem oiexg 7897
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiexg  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21ordtype 7894 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
3 isof1o 6144 . . . 4  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
4 f1of1 5740 . . . 4  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F : dom  F -1-1-> A
)
52, 3, 43syl 20 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F -1-1-> A )
6 f1dmex 6691 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  F  e. 
_V )
7 f1f 5706 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F : dom  F --> A )
8 fex 6066 . . . . . 6  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
97, 8sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
106, 9syldan 468 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  F  e.  _V )
1110expcom 433 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F  e.  _V )
)
125, 11syl5 32 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
)
131oi0 7890 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
14 0ex 4514 . . 3  |-  (/)  e.  _V
1513, 14syl6eqel 2492 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
1612, 15pm2.61d1 159 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   _Vcvv 3051   (/)c0 3728    _E cep 4720   Se wse 4767    We wwe 4768   dom cdm 4930   -->wf 5509   -1-1->wf1 5510   -1-1-onto->wf1o 5512    Isom wiso 5514  OrdIsocoi 7871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-recs 6982  df-oi 7872
This theorem is referenced by:  oion  7898  oien  7900  cantnfval  8022  cantnfvalOLD  8052  wemapwe  8074  wemapweOLD  8075  finnisoeu  8429  cofsmo  8584
  Copyright terms: Public domain W3C validator