MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oieq2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oieq2 8046
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq2  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )

Proof of Theorem oieq2
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq2 4828 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R  We  A  <->  R  We  B ) )
2 seeq2 4812 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R Se  A  <->  R Se  B )
)
31, 2anbi12d 725 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( R  We  B  /\  R Se  B ) ) )
4 rabeq 3024 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
54raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
64, 5riotaeqbidv 6273 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
76mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
8 recseq 7110 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
109imaeq1d 5173 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) )
1110raleqdv 2979 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1211rexeqbi1dv 2982 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1312rabbidv 3022 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
149, 13reseq12d 5112 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) )
153, 14ifbieq1d 3895 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
16 df-oi 8043 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
17 df-oi 8043 . 2  |- OrdIso ( R ,  B )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
1815, 16, 173eqtr4g 2530 1  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   Se wse 4796    We wwe 4797   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Oncon0 5430   iota_crio 6269  recscrecs 7107  OrdIsocoi 8042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-iota 5553  df-fv 5597  df-riota 6270  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-oi 8043
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8075  cantnfval  8191  cantnf0  8198  cantnfres  8200  cantnf  8216  dfac12lem1  8591  dfac12r  8594  hsmexlem2  8875  hsmexlem4  8877  ltbwe  18773
  Copyright terms: Public domain W3C validator