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Theorem oieq2 7956
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq2  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )

Proof of Theorem oieq2
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq2 4877 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R  We  A  <->  R  We  B ) )
2 seeq2 4861 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R Se  A  <->  R Se  B )
)
31, 2anbi12d 710 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( R  We  B  /\  R Se  B ) ) )
4 rabeq 3103 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
54raleqdv 3060 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
64, 5riotaeqbidv 6261 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
76mpteq2dv 4544 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
8 recseq 7061 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
109imaeq1d 5346 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) )
1110raleqdv 3060 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1211rexeqbi1dv 3063 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1312rabbidv 3101 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
149, 13reseq12d 5284 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) )
153, 14ifbieq1d 3967 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
16 df-oi 7953 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
17 df-oi 7953 . 2  |- OrdIso ( R ,  B )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
1815, 16, 173eqtr4g 2523 1  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   Se wse 4845    We wwe 4846   Oncon0 4887   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011   iota_crio 6257  recscrecs 7059  OrdIsocoi 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-xp 5014  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fv 5602  df-riota 6258  df-recs 7060  df-oi 7953
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7985  cantnffvalOLD  8099  cantnfval  8104  cantnf0  8111  cantnfres  8113  cantnf  8129  cantnfvalOLD  8134  cantnfOLD  8151  dfac12lem1  8540  dfac12r  8543  hsmexlem2  8824  hsmexlem4  8826  ltbwe  18263
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