Theorem oieq1 7938

Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oieq1	|- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Proof of Theorem oieq1

Dummy variables h j t u v w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq1 4867	. . . 4 |- ( R = S -> ( R We A <-> S We A ) )
2		seeq1 4851	. . . 4 |- ( R = S -> ( R Se A <-> S Se A ) )
3	1, 2	anbi12d 710	. . 3 |- ( R = S -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( S We A /\ S Se A ) ) )
4		breq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( j R w <-> j S w ) )
5	4	ralbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ran h j S w ) )
6	5	rabbidv 3105	. . . . . . 7 |- ( R = S -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j S w } )
7		breq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( u R v <-> u S v ) )
8	7	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( -. u R v <-> -. u S v ) )
9	6, 8	raleqbidv 3072	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
10	6, 9	riotaeqbidv 6249	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
11	10	mpteq2dv 4534	. . . . 5 |- ( R = S -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) )
12		recseq 7044	. . . . 5 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( R = S -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
14	13	imaeq1d 5336	. . . . . . 7 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) )
15		breq 4449	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( z R t <-> z S t ) )
16	14, 15	raleqbidv 3072	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
17	16	rexbidv 2973	. . . . 5 |- ( R = S -> ( E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
18	17	rabbidv 3105	. . . 4 |- ( R = S -> { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } )
19	13, 18	reseq12d 5274	. . 3 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) )
20	3, 19	ifbieq1d 3962	. 2 |- ( R = S -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) ) )
21		df-oi 7936	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
22		df-oi 7936	. 2 |- OrdIso ( S , A ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) )
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2533	1 |- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   Se wse 4836   We wwe 4837   Oncon0 4878   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   iota_crio 6245  recscrecs 7042  OrdIsocoi 7935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-xp 5005  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fv 5596  df-riota 6246  df-recs 7043  df-oi 7936

This theorem is referenced by:  hartogslem1  7968