Theorem oieq1 7929

Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oieq1	|- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Proof of Theorem oieq1

Dummy variables h j t u v w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq1 4856	. . . 4 |- ( R = S -> ( R We A <-> S We A ) )
2		seeq1 4840	. . . 4 |- ( R = S -> ( R Se A <-> S Se A ) )
3	1, 2	anbi12d 708	. . 3 |- ( R = S -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( S We A /\ S Se A ) ) )
4		breq 4441	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( j R w <-> j S w ) )
5	4	ralbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ran h j S w ) )
6	5	rabbidv 3098	. . . . . . 7 |- ( R = S -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j S w } )
7		breq 4441	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( u R v <-> u S v ) )
8	7	notbid 292	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( -. u R v <-> -. u S v ) )
9	6, 8	raleqbidv 3065	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
10	6, 9	riotaeqbidv 6235	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
11	10	mpteq2dv 4526	. . . . 5 |- ( R = S -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) )
12		recseq 7035	. . . . 5 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( R = S -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
14	13	imaeq1d 5324	. . . . . . 7 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) )
15		breq 4441	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( z R t <-> z S t ) )
16	14, 15	raleqbidv 3065	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
17	16	rexbidv 2965	. . . . 5 |- ( R = S -> ( E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
18	17	rabbidv 3098	. . . 4 |- ( R = S -> { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } )
19	13, 18	reseq12d 5263	. . 3 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) )
20	3, 19	ifbieq1d 3952	. 2 |- ( R = S -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) ) )
21		df-oi 7927	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
22		df-oi 7927	. 2 |- OrdIso ( S , A ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) )
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2520	1 |- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   ifcif 3929   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   Se wse 4825   We wwe 4826   Oncon0 4867   ran crn 4989   |` cres 4990   "cima 4991   iota_crio 6231  recscrecs 7033  OrdIsocoi 7926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-xp 4994  df-cnv 4996  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fv 5578  df-riota 6232  df-recs 7034  df-oi 7927

This theorem is referenced by:  hartogslem1  7959