Theorem oieq1 8052

Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oieq1	|- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Proof of Theorem oieq1

Dummy variables h j t u v w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq1 4840	. . . 4 |- ( R = S -> ( R We A <-> S We A ) )
2		seeq1 4824	. . . 4 |- ( R = S -> ( R Se A <-> S Se A ) )
3	1, 2	anbi12d 722	. . 3 |- ( R = S -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( S We A /\ S Se A ) ) )
4		breq 4417	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( j R w <-> j S w ) )
5	4	ralbidv 2838	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ran h j S w ) )
6	5	rabbidv 3047	. . . . . . 7 |- ( R = S -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j S w } )
7		breq 4417	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( u R v <-> u S v ) )
8	7	notbid 300	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( -. u R v <-> -. u S v ) )
9	6, 8	raleqbidv 3012	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
10	6, 9	riotaeqbidv 6279	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
11	10	mpteq2dv 4503	. . . . 5 |- ( R = S -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) )
12		recseq 7117	. . . . 5 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( R = S -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
14	13	imaeq1d 5185	. . . . . . 7 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) )
15		breq 4417	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( z R t <-> z S t ) )
16	14, 15	raleqbidv 3012	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
17	16	rexbidv 2912	. . . . 5 |- ( R = S -> ( E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
18	17	rabbidv 3047	. . . 4 |- ( R = S -> { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } )
19	13, 18	reseq12d 5124	. . 3 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) )
20	3, 19	ifbieq1d 3915	. 2 |- ( R = S -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) ) )
21		df-oi 8050	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
22		df-oi 8050	. 2 |- OrdIso ( S , A ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) )
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2520	1 |- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056   (/)c0 3742   ifcif 3892   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   Se wse 4809   We wwe 4810   ran crn 4853   |` cres 4854   "cima 4855   Oncon0 5441   iota_crio 6275  recscrecs 7114  OrdIsocoi 8049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-cnv 4860  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-iota 5564  df-fv 5608  df-riota 6276  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-oi 8050

This theorem is referenced by:  hartogslem1  8082