Theorem oieq1 8031

Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oieq1	|- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Proof of Theorem oieq1

Dummy variables h j t u v w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq1 4839	. . . 4 |- ( R = S -> ( R We A <-> S We A ) )
2		seeq1 4823	. . . 4 |- ( R = S -> ( R Se A <-> S Se A ) )
3	1, 2	anbi12d 716	. . 3 |- ( R = S -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( S We A /\ S Se A ) ) )
4		breq 4423	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( j R w <-> j S w ) )
5	4	ralbidv 2865	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ran h j S w ) )
6	5	rabbidv 3073	. . . . . . 7 |- ( R = S -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j S w } )
7		breq 4423	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( u R v <-> u S v ) )
8	7	notbid 296	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( -. u R v <-> -. u S v ) )
9	6, 8	raleqbidv 3040	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
10	6, 9	riotaeqbidv 6268	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
11	10	mpteq2dv 4509	. . . . 5 |- ( R = S -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) )
12		recseq 7098	. . . . 5 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( R = S -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
14	13	imaeq1d 5184	. . . . . . 7 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) )
15		breq 4423	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( z R t <-> z S t ) )
16	14, 15	raleqbidv 3040	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
17	16	rexbidv 2940	. . . . 5 |- ( R = S -> ( E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
18	17	rabbidv 3073	. . . 4 |- ( R = S -> { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } )
19	13, 18	reseq12d 5123	. . 3 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) )
20	3, 19	ifbieq1d 3933	. 2 |- ( R = S -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) ) )
21		df-oi 8029	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
22		df-oi 8029	. 2 |- OrdIso ( S , A ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) )
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2489	1 |- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1438   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   (/)c0 3762   ifcif 3910   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   Se wse 4808   We wwe 4809   ran crn 4852   |` cres 4853   "cima 4854   Oncon0 5440   iota_crio 6264  recscrecs 7095  OrdIsocoi 8028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-cnv 4859  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-iota 5563  df-fv 5607  df-riota 6265  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-oi 8029

This theorem is referenced by:  hartogslem1  8061