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Theorem oieq1 8052
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq1  |-  ( R  =  S  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( S ,  A
) )

Proof of Theorem oieq1
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq1 4840 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  ( R  We  A  <->  S  We  A ) )
2 seeq1 4824 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  ( R Se  A  <->  S Se  A )
)
31, 2anbi12d 722 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( S  We  A  /\  S Se  A ) ) )
4 breq 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  S  ->  (
j R w  <->  j S w ) )
54ralbidv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. j  e.  ran  h  j S w ) )
65rabbidv 3047 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } )
7 breq 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  S  ->  (
u R v  <->  u S
v ) )
87notbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  ( -.  u R v  <->  -.  u S v ) )
96, 8raleqbidv 3012 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) )
106, 9riotaeqbidv 6279 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) )
1110mpteq2dv 4503 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
12 recseq 7117 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) ) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( R  =  S  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) ) )
1413imaeq1d 5185 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) )
15 breq 4417 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
z R t  <->  z S
t ) )
1614, 15raleqbidv 3012 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t ) )
1716rexbidv 2912 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t ) )
1817rabbidv 3047 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } )
1913, 18reseq12d 5124 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } ) )
203, 19ifbieq1d 3915 . 2  |-  ( R  =  S  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( S  We  A  /\  S Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } ) ,  (/) ) )
21 df-oi 8050 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
22 df-oi 8050 . 2  |- OrdIso ( S ,  A )  =  if ( ( S  We  A  /\  S Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } ) ,  (/) )
2320, 21, 223eqtr4g 2520 1  |-  ( R  =  S  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( S ,  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056   (/)c0 3742   ifcif 3892   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   Se wse 4809    We wwe 4810   ran crn 4853    |` cres 4854   "cima 4855   Oncon0 5441   iota_crio 6275  recscrecs 7114  OrdIsocoi 8049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-cnv 4860  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-iota 5564  df-fv 5608  df-riota 6276  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-oi 8050
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8082
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