MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oien Structured version   Unicode version

Theorem oien 7952
Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oien  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)

Proof of Theorem oien
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oiexg 7949 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  e.  _V )
41oiiso 7951 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
5 isof1o 6200 . . 3  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A
)
7 f1oen3g 7521 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : dom  F -1-1-onto-> A )  ->  dom  F  ~~  A )
83, 6, 7syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440    _E cep 4782    We wwe 4830   dom cdm 4992   -1-1-onto->wf1o 5578    Isom wiso 5580    ~~ cen 7503  OrdIsocoi 7923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-recs 7032  df-en 7507  df-oi 7924
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7956  wofib  7959  cantnfcl  8075  cantnff  8082  cantnf0  8083  cantnfp1lem2  8087  cantnflem1  8097  cantnf  8101  cantnfclOLD  8105  cantnfp1lem2OLD  8113  cantnflem1OLD  8120  cantnfOLD  8123  cnfcom2lem  8134  cnfcom2lemOLD  8142  finnisoeu  8483  dfac12lem2  8513  pwfseqlem5  9030  fz1isolem  12463
  Copyright terms: Public domain W3C validator