MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oicl Structured version   Unicode version

Theorem oicl 7955
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oicl  |-  Ord  dom  F

Proof of Theorem oicl
Dummy variables  u  t  v  x  h  j  w  z  f 
i  r  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
41, 2, 3ordtypecbv 7943 . . . 4  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }
6 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R  We  A )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
94, 2, 3, 5, 6, 7, 8ordtypelem5 7948 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  /\  F : dom  F --> A ) )
109simpld 459 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  Ord  dom 
F )
11 ord0 4930 . . 3  |-  Ord  (/)
126oi0 7954 . . . . . 6  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
1312dmeqd 5205 . . . . 5  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  dom  (/) )
14 dm0 5216 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  (/) )
16 ordeq 4885 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  (/)  ->  ( Ord  dom  F  <->  Ord  (/) ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  <->  Ord  (/) ) )
1811, 17mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  Ord  dom  F )
1910, 18pm2.61i 164 1  |-  Ord  dom  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Se wse 4836    We wwe 4837   Ord word 4877   Oncon0 4878   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   -->wf 5584   iota_crio 6245  recscrecs 7042  OrdIsocoi 7935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-recs 7043  df-oi 7936
This theorem is referenced by:  oion  7962  oieu  7965  oismo  7966  oiid  7967  wofib  7971  cantnflt  8092  cantnfp1lem3  8100  cantnflem1b  8106  cantnflem1  8109  cantnfltOLD  8122  cantnfp1lem3OLD  8126  cantnflem1bOLD  8129  cantnflem1OLD  8132  wemapwe  8140  wemapweOLD  8141  cnfcomlem  8144  cnfcom  8145  cnfcom2lem  8146  cnfcomlemOLD  8152  cnfcomOLD  8153  cnfcom2lemOLD  8154  infxpenlem  8392  hsmexlem1  8807  fpwwe2lem8  9016  fpwwe2lem9  9017  fpwwe2lem10  9018
  Copyright terms: Public domain W3C validator