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Theorem ogrpsublt 27946
Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsublt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpsublt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpsublt.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpsublt  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  .<  ( Y  .-  Z ) )

Proof of Theorem ogrpsublt
StepHypRef Expression
1 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<  Y )
2 simp1 994 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  G  e. oGrp )
3 simp21 1027 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
4 simp22 1028 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( le
`  G )  =  ( le `  G
)
6 ogrpsublt.1 . . . . . . 7  |-  .<  =  ( lt `  G )
75, 6pltval 15789 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  G
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
82, 3, 4, 7syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .<  Y  <-> 
( X ( le
`  G ) Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
91, 8mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X ( le `  G ) Y  /\  X  =/= 
Y ) )
109simpld 457 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X ( le
`  G ) Y )
11 ogrpsublt.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
12 ogrpsublt.2 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
1311, 5, 12ogrpsub 27941 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X ( le `  G ) Y )  ->  ( X  .-  Z ) ( le
`  G ) ( Y  .-  Z ) )
1410, 13syld3an3 1271 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z ) ( le
`  G ) ( Y  .-  Z ) )
159simprd 461 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  =/=  Y
)
16 ogrpgrp 27927 . . . . . 6  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
172, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  G  e.  Grp )
18 simp23 1029 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Z  e.  B
)
1911, 12grpsubrcan 16318 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  =  ( Y 
.-  Z )  <->  X  =  Y ) )
2017, 3, 4, 18, 19syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  =  ( Y  .-  Z
)  <->  X  =  Y
) )
2120necon3bid 2712 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z
)  <->  X  =/=  Y
) )
2215, 21mpbird 232 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) )
2311, 12grpsubcl 16317 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
2417, 3, 18, 23syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  e.  B
)
2511, 12grpsubcl 16317 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  B )
2617, 4, 18, 25syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  B
)
275, 6pltval 15789 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  .-  Z )  e.  B  /\  ( Y 
.-  Z )  e.  B )  ->  (
( X  .-  Z
)  .<  ( Y  .-  Z )  <->  ( ( X  .-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) ) )
282, 24, 26, 27syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  .< 
( Y  .-  Z
)  <->  ( ( X 
.-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) ) )
2914, 22, 28mpbir2and 920 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  .<  ( Y  .-  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   ltcplt 15769   Grpcgrp 16252   -gcsg 16254  oGrpcogrp 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-0g 14931  df-plt 15787  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-omnd 27923  df-ogrp 27924
This theorem is referenced by:  archiabllem1a  27969  archiabllem2a  27972  archiabllem2c  27973
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