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Theorem ogrpsublt 26350
Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsublt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpsublt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpsublt.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpsublt  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  .<  ( Y  .-  Z ) )

Proof of Theorem ogrpsublt
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  G  e. oGrp )
2 simp21 1021 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
3 simp22 1022 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
4 simp23 1023 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Z  e.  B
)
5 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<  Y )
6 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  G )  =  ( le `  G
)
7 ogrpsublt.1 . . . . . . . 8  |-  .<  =  ( lt `  G )
86, 7pltval 15252 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  G
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
91, 2, 3, 8syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .<  Y  <-> 
( X ( le
`  G ) Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
105, 9mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X ( le `  G ) Y  /\  X  =/= 
Y ) )
1110simpld 459 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X ( le
`  G ) Y )
12 ogrpsublt.0 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
13 ogrpsublt.2 . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
1412, 6, 13ogrpsub 26345 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X ( le `  G ) Y )  ->  ( X  .-  Z ) ( le
`  G ) ( Y  .-  Z ) )
151, 2, 3, 4, 11, 14syl131anc 1232 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z ) ( le
`  G ) ( Y  .-  Z ) )
1610simprd 463 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  =/=  Y
)
17 ogrpgrp 26331 . . . . . . 7  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
181, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  G  e.  Grp )
1912, 13grpsubrcan 15729 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  =  ( Y 
.-  Z )  <->  X  =  Y ) )
2018, 2, 3, 4, 19syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  =  ( Y  .-  Z
)  <->  X  =  Y
) )
2120necon3bid 2710 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z
)  <->  X  =/=  Y
) )
2216, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) )
2315, 22jca 532 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) )
2412, 13grpsubcl 15728 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
2518, 2, 4, 24syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  e.  B
)
2612, 13grpsubcl 15728 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  B )
2718, 3, 4, 26syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  B
)
286, 7pltval 15252 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  .-  Z )  e.  B  /\  ( Y 
.-  Z )  e.  B )  ->  (
( X  .-  Z
)  .<  ( Y  .-  Z )  <->  ( ( X  .-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) ) )
291, 25, 27, 28syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  .< 
( Y  .-  Z
)  <->  ( ( X 
.-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) ) )
3023, 29mpbird 232 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  .<  ( Y  .-  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   ltcplt 15233   Grpcgrp 15532   -gcsg 15535  oGrpcogrp 26326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-0g 14502  df-plt 15250  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-omnd 26327  df-ogrp 26328
This theorem is referenced by:  archiabllem1a  26373  archiabllem2a  26376  archiabllem2c  26377
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