Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpsublt Structured version   Unicode version

Theorem ogrpsublt 27536
Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsublt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpsublt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpsublt.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpsublt  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  .<  ( Y  .-  Z ) )

Proof of Theorem ogrpsublt
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  G  e. oGrp )
2 simp21 1029 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
3 simp22 1030 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
4 simp23 1031 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Z  e.  B
)
5 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<  Y )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  G )  =  ( le `  G
)
7 ogrpsublt.1 . . . . . . . 8  |-  .<  =  ( lt `  G )
86, 7pltval 15464 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  G
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
91, 2, 3, 8syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .<  Y  <-> 
( X ( le
`  G ) Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
105, 9mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X ( le `  G ) Y  /\  X  =/= 
Y ) )
1110simpld 459 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X ( le
`  G ) Y )
12 ogrpsublt.0 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
13 ogrpsublt.2 . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
1412, 6, 13ogrpsub 27531 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X ( le `  G ) Y )  ->  ( X  .-  Z ) ( le
`  G ) ( Y  .-  Z ) )
151, 2, 3, 4, 11, 14syl131anc 1241 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z ) ( le
`  G ) ( Y  .-  Z ) )
1610simprd 463 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  =/=  Y
)
17 ogrpgrp 27517 . . . . . . 7  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
181, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  G  e.  Grp )
1912, 13grpsubrcan 15991 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  =  ( Y 
.-  Z )  <->  X  =  Y ) )
2018, 2, 3, 4, 19syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  =  ( Y  .-  Z
)  <->  X  =  Y
) )
2120necon3bid 2725 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z
)  <->  X  =/=  Y
) )
2216, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) )
2315, 22jca 532 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) )
2412, 13grpsubcl 15990 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
2518, 2, 4, 24syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  e.  B
)
2612, 13grpsubcl 15990 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  B )
2718, 3, 4, 26syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  B
)
286, 7pltval 15464 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  .-  Z )  e.  B  /\  ( Y 
.-  Z )  e.  B )  ->  (
( X  .-  Z
)  .<  ( Y  .-  Z )  <->  ( ( X  .-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) ) )
291, 25, 27, 28syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( X 
.-  Z )  .< 
( Y  .-  Z
)  <->  ( ( X 
.-  Z ) ( le `  G ) ( Y  .-  Z
)  /\  ( X  .-  Z )  =/=  ( Y  .-  Z ) ) ) )
3023, 29mpbird 232 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .-  Z )  .<  ( Y  .-  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   ltcplt 15445   Grpcgrp 15925   -gcsg 15927  oGrpcogrp 27512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-0g 14714  df-plt 15462  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-omnd 27513  df-ogrp 27514
This theorem is referenced by:  archiabllem1a  27559  archiabllem2a  27562  archiabllem2c  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator