Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpsub Structured version   Unicode version

Theorem ogrpsub 27580
 Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group subtraction (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsub.0
ogrpsub.1
ogrpsub.2
Assertion
Ref Expression
ogrpsub oGrp

Proof of Theorem ogrpsub
StepHypRef Expression
1 isogrp 27565 . . . . 5 oGrp oMnd
21simprbi 464 . . . 4 oGrp oMnd
323ad2ant1 1018 . . 3 oGrp oMnd
4 simp21 1030 . . 3 oGrp
5 simp22 1031 . . 3 oGrp
6 ogrpgrp 27566 . . . . 5 oGrp
763ad2ant1 1018 . . . 4 oGrp
8 simp23 1032 . . . 4 oGrp
9 ogrpsub.0 . . . . 5
10 eqid 2443 . . . . 5
119, 10grpinvcl 15969 . . . 4
127, 8, 11syl2anc 661 . . 3 oGrp
13 simp3 999 . . 3 oGrp
14 ogrpsub.1 . . . 4
15 eqid 2443 . . . 4
169, 14, 15omndadd 27569 . . 3 oMnd
173, 4, 5, 12, 13, 16syl131anc 1242 . 2 oGrp
18 ogrpsub.2 . . . 4
199, 15, 10, 18grpsubval 15967 . . 3
204, 8, 19syl2anc 661 . 2 oGrp
219, 15, 10, 18grpsubval 15967 . . 3
225, 8, 21syl2anc 661 . 2 oGrp
2317, 20, 223brtr4d 4467 1 oGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   class class class wbr 4437  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14509   cplusg 14574  cple 14581  cgrp 15927  cminusg 15928  csg 15929  oMndcomnd 27560  oGrpcogrp 27561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-omnd 27562  df-ogrp 27563 This theorem is referenced by:  ogrpsublt  27585  archiabllem1a  27608  archiabllem2c  27612  ornglmulle  27668  orngrmulle  27669
 Copyright terms: Public domain W3C validator