Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpinv0lt Structured version   Unicode version

Theorem ogrpinv0lt 27579
 Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpinvlt.0
ogrpinvlt.1
ogrpinvlt.2
ogrpinv0lt.3
Assertion
Ref Expression
ogrpinv0lt oGrp

Proof of Theorem ogrpinv0lt
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4 oGrp oGrp
2 ogrpgrp 27559 . . . . . 6 oGrp
31, 2syl 16 . . . . 5 oGrp
4 ogrpinvlt.0 . . . . . 6
5 ogrpinv0lt.3 . . . . . 6
64, 5grpidcl 15947 . . . . 5
73, 6syl 16 . . . 4 oGrp
8 simplr 754 . . . 4 oGrp
9 ogrpinvlt.2 . . . . . 6
104, 9grpinvcl 15964 . . . . 5
113, 8, 10syl2anc 661 . . . 4 oGrp
12 simpr 461 . . . 4 oGrp
13 ogrpinvlt.1 . . . . 5
14 eqid 2441 . . . . 5
154, 13, 14ogrpaddlt 27574 . . . 4 oGrp
161, 7, 8, 11, 12, 15syl131anc 1240 . . 3 oGrp
174, 14, 5grplid 15949 . . . 4
183, 11, 17syl2anc 661 . . 3 oGrp
194, 14, 5, 9grprinv 15966 . . . 4
203, 8, 19syl2anc 661 . . 3 oGrp
2116, 18, 203brtr3d 4462 . 2 oGrp
22 simpll 753 . . . 4 oGrp oGrp
2322, 2syl 16 . . . . 5 oGrp
24 simplr 754 . . . . 5 oGrp
2523, 24, 10syl2anc 661 . . . 4 oGrp
2622, 2, 63syl 20 . . . 4 oGrp
27 simpr 461 . . . 4 oGrp
284, 13, 14ogrpaddlt 27574 . . . 4 oGrp
2922, 25, 26, 24, 27, 28syl131anc 1240 . . 3 oGrp
304, 14, 5, 9grplinv 15965 . . . 4
3123, 24, 30syl2anc 661 . . 3 oGrp
324, 14, 5grplid 15949 . . . 4
3323, 24, 32syl2anc 661 . . 3 oGrp
3429, 31, 333brtr3d 4462 . 2 oGrp
3521, 34impbida 830 1 oGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1381   wcel 1802   class class class wbr 4433  cfv 5574  (class class class)co 6277  cbs 14504   cplusg 14569  c0g 14709  cplt 15439  cgrp 15922  cminusg 15923  oGrpcogrp 27554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-0g 14711  df-plt 15457  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-omnd 27555  df-ogrp 27556 This theorem is referenced by:  archirngz  27599
 Copyright terms: Public domain W3C validator