Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpinv0le Structured version   Unicode version

Theorem ogrpinv0le 27858
 Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsub.0
ogrpsub.1
ogrpinv.2
ogrpinv.3
Assertion
Ref Expression
ogrpinv0le oGrp

Proof of Theorem ogrpinv0le
StepHypRef Expression
1 isogrp 27844 . . . . . 6 oGrp oMnd
21simprbi 464 . . . . 5 oGrp oMnd
32ad2antrr 725 . . . 4 oGrp oMnd
4 omndmnd 27846 . . . . 5 oMnd
5 ogrpsub.0 . . . . . 6
6 ogrpinv.3 . . . . . 6
75, 6mndidcl 16064 . . . . 5
83, 4, 73syl 20 . . . 4 oGrp
9 simplr 755 . . . 4 oGrp
10 ogrpgrp 27845 . . . . . 6 oGrp
1110ad2antrr 725 . . . . 5 oGrp
12 ogrpinv.2 . . . . . 6
135, 12grpinvcl 16221 . . . . 5
1411, 9, 13syl2anc 661 . . . 4 oGrp
15 simpr 461 . . . 4 oGrp
16 ogrpsub.1 . . . . 5
17 eqid 2457 . . . . 5
185, 16, 17omndadd 27848 . . . 4 oMnd
193, 8, 9, 14, 15, 18syl131anc 1241 . . 3 oGrp
205, 17, 6grplid 16206 . . . 4
2111, 14, 20syl2anc 661 . . 3 oGrp
225, 17, 6, 12grprinv 16223 . . . 4
2311, 9, 22syl2anc 661 . . 3 oGrp
2419, 21, 233brtr3d 4485 . 2 oGrp
252ad2antrr 725 . . . 4 oGrp oMnd
2610ad2antrr 725 . . . . 5 oGrp
27 simplr 755 . . . . 5 oGrp
2826, 27, 13syl2anc 661 . . . 4 oGrp
2925, 4, 73syl 20 . . . 4 oGrp
30 simpr 461 . . . 4 oGrp
315, 16, 17omndadd 27848 . . . 4 oMnd
3225, 28, 29, 27, 30, 31syl131anc 1241 . . 3 oGrp
335, 17, 6, 12grplinv 16222 . . . 4
3426, 27, 33syl2anc 661 . . 3 oGrp
355, 17, 6grplid 16206 . . . 4
3626, 27, 35syl2anc 661 . . 3 oGrp
3732, 34, 363brtr3d 4485 . 2 oGrp
3824, 37impbida 832 1 oGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   cplusg 14711  cple 14718  c0g 14856  cmnd 16045  cgrp 16179  cminusg 16180  oMndcomnd 27839  oGrpcogrp 27840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-omnd 27841  df-ogrp 27842 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator