Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrd Structured version   Unicode version

Theorem ogrpaddltrd 28175
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ogrpaddltrd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
ogrpaddltrd.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  G )  e. oGrp
)
ogrpaddltrd.3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ogrpaddltrd.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ogrpaddltrd.5  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
ogrpaddltrd.6  |-  ( ph  ->  X  .<  Y )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrd  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
)  .<  ( Z  .+  Y ) )

Proof of Theorem ogrpaddltrd
StepHypRef Expression
1 ogrpaddltrd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  (oppg
`  G )  e. oGrp
)
2 ogrpaddltrd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 ogrpaddltrd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 ogrpaddltrd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5 ogrpaddltrd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  .<  Y )
6 ogrpaddltrd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
7 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
8 ogrpaddlt.1 . . . . . . . 8  |-  .<  =  ( lt `  G )
97, 8oppglt 28107 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  V  ->  .<  =  ( lt `  (oppg `  G
) ) )
106, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .<  =  ( lt
`  (oppg
`  G ) ) )
1110breqd 4408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .<  Y  <->  X ( lt `  (oppg
`  G ) ) Y ) )
125, 11mpbid 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  X ( lt `  (oppg `  G ) ) Y )
13 ogrpaddlt.0 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
147, 13oppgbas 16712 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
15 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( lt
`  (oppg
`  G ) )  =  ( lt `  (oppg `  G ) )
16 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
1714, 15, 16ogrpaddlt 28173 . . . 4  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X ( lt `  (oppg
`  G ) ) Y )  ->  ( X ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z ) ( lt `  (oppg `  G
) ) ( Y ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z ) )
181, 2, 3, 4, 12, 17syl131anc 1245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( +g  `  (oppg
`  G ) ) Z ) ( lt
`  (oppg
`  G ) ) ( Y ( +g  `  (oppg
`  G ) ) Z ) )
19 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2019, 7, 16oppgplus 16710 . . 3  |-  ( X ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z )  =  ( Z  .+  X )
2119, 7, 16oppgplus 16710 . . 3  |-  ( Y ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z )  =  ( Z  .+  Y )
2218, 20, 213brtr3g 4428 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
) ( lt `  (oppg `  G ) ) ( Z  .+  Y ) )
2310breqd 4408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  .+  X )  .<  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  X ) ( lt
`  (oppg
`  G ) ) ( Z  .+  Y
) ) )
2422, 23mpbird 234 1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
)  .<  ( Z  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   ltcplt 15896  oppgcoppg 16706  oGrpcogrp 28153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-ple 14931  df-0g 15058  df-plt 15914  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-oppg 16707  df-omnd 28154  df-ogrp 28155
This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  28176  archiabllem2a  28203  archiabllem2c  28204
  Copyright terms: Public domain W3C validator