Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrd Structured version   Unicode version

Theorem ogrpaddltrd 26319
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ogrpaddltrd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
ogrpaddltrd.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  G )  e. oGrp
)
ogrpaddltrd.3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ogrpaddltrd.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ogrpaddltrd.5  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
ogrpaddltrd.6  |-  ( ph  ->  X  .<  Y )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrd  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
)  .<  ( Z  .+  Y ) )

Proof of Theorem ogrpaddltrd
StepHypRef Expression
1 ogrpaddltrd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  (oppg
`  G )  e. oGrp
)
2 ogrpaddltrd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 ogrpaddltrd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 ogrpaddltrd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5 ogrpaddltrd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  .<  Y )
6 ogrpaddltrd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
7 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
8 ogrpaddlt.1 . . . . . . . 8  |-  .<  =  ( lt `  G )
97, 8oppglt 26251 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  V  ->  .<  =  ( lt `  (oppg `  G
) ) )
106, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .<  =  ( lt
`  (oppg
`  G ) ) )
1110breqd 4403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .<  Y  <->  X ( lt `  (oppg
`  G ) ) Y ) )
125, 11mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  X ( lt `  (oppg `  G ) ) Y )
13 ogrpaddlt.0 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
147, 13oppgbas 15970 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
15 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( lt
`  (oppg
`  G ) )  =  ( lt `  (oppg `  G ) )
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
1714, 15, 16ogrpaddlt 26317 . . . 4  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X ( lt `  (oppg
`  G ) ) Y )  ->  ( X ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z ) ( lt `  (oppg `  G
) ) ( Y ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z ) )
181, 2, 3, 4, 12, 17syl131anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( +g  `  (oppg
`  G ) ) Z ) ( lt
`  (oppg
`  G ) ) ( Y ( +g  `  (oppg
`  G ) ) Z ) )
19 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2019, 7, 16oppgplus 15968 . . 3  |-  ( X ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z )  =  ( Z  .+  X )
2119, 7, 16oppgplus 15968 . . 3  |-  ( Y ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z )  =  ( Z  .+  Y )
2218, 20, 213brtr3g 4423 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
) ( lt `  (oppg `  G ) ) ( Z  .+  Y ) )
2310breqd 4403 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  .+  X )  .<  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  X ) ( lt
`  (oppg
`  G ) ) ( Z  .+  Y
) ) )
2422, 23mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
)  .<  ( Z  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   ltcplt 15215  oppgcoppg 15964  oGrpcogrp 26297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-ple 14362  df-0g 14484  df-plt 15232  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-oppg 15965  df-omnd 26298  df-ogrp 26299
This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  26320  archiabllem2c  26348
  Copyright terms: Public domain W3C validator