Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrd Structured version   Unicode version

Theorem ogrpaddltrd 27372
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ogrpaddltrd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
ogrpaddltrd.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  G )  e. oGrp
)
ogrpaddltrd.3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ogrpaddltrd.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ogrpaddltrd.5  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
ogrpaddltrd.6  |-  ( ph  ->  X  .<  Y )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrd  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
)  .<  ( Z  .+  Y ) )

Proof of Theorem ogrpaddltrd
StepHypRef Expression
1 ogrpaddltrd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  (oppg
`  G )  e. oGrp
)
2 ogrpaddltrd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 ogrpaddltrd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 ogrpaddltrd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5 ogrpaddltrd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  .<  Y )
6 ogrpaddltrd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
7 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
8 ogrpaddlt.1 . . . . . . . 8  |-  .<  =  ( lt `  G )
97, 8oppglt 27304 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  V  ->  .<  =  ( lt `  (oppg `  G
) ) )
106, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .<  =  ( lt
`  (oppg
`  G ) ) )
1110breqd 4458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .<  Y  <->  X ( lt `  (oppg
`  G ) ) Y ) )
125, 11mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  X ( lt `  (oppg `  G ) ) Y )
13 ogrpaddlt.0 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
147, 13oppgbas 16181 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
15 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( lt
`  (oppg
`  G ) )  =  ( lt `  (oppg `  G ) )
16 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
1714, 15, 16ogrpaddlt 27370 . . . 4  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X ( lt `  (oppg
`  G ) ) Y )  ->  ( X ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z ) ( lt `  (oppg `  G
) ) ( Y ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z ) )
181, 2, 3, 4, 12, 17syl131anc 1241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( +g  `  (oppg
`  G ) ) Z ) ( lt
`  (oppg
`  G ) ) ( Y ( +g  `  (oppg
`  G ) ) Z ) )
19 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2019, 7, 16oppgplus 16179 . . 3  |-  ( X ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z )  =  ( Z  .+  X )
2119, 7, 16oppgplus 16179 . . 3  |-  ( Y ( +g  `  (oppg `  G
) ) Z )  =  ( Z  .+  Y )
2218, 20, 213brtr3g 4478 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
) ( lt `  (oppg `  G ) ) ( Z  .+  Y ) )
2310breqd 4458 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  .+  X )  .<  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  X ) ( lt
`  (oppg
`  G ) ) ( Z  .+  Y
) ) )
2422, 23mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  X
)  .<  ( Z  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   ltcplt 15424  oppgcoppg 16175  oGrpcogrp 27350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-ple 14571  df-0g 14693  df-plt 15441  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-oppg 16176  df-omnd 27351  df-ogrp 27352
This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  27373  archiabllem2c  27401
  Copyright terms: Public domain W3C validator