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Theorem ogrpaddltbi 27533
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltbi  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem ogrpaddltbi
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ogrpaddlt.1 . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  G )
3 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3ogrpaddlt 27532 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )
543expa 1196 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
6 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e. oGrp )
7 ogrpgrp 27517 . . . . . 6  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e.  Grp )
9 simplr1 1038 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  e.  B )
10 simplr3 1040 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Z  e.  B )
111, 3grpcl 15935 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  B )
128, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  B )
13 simplr2 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Y  e.  B )
141, 3grpcl 15935 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
158, 13, 10, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  B )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
171, 16grpinvcl 15967 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
188, 10, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
19 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
201, 2, 3ogrpaddlt 27532 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Z
)  e.  B  /\  ( Y  .+  Z )  e.  B  /\  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )  /\  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
216, 12, 15, 18, 19, 20syl131anc 1241 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) 
.<  ( ( Y  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) ) )
221, 3grpass 15936 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( X  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
238, 9, 10, 18, 22syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
24 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
251, 3, 24, 16grprinv 15969 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( 0g `  G ) )
268, 10, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( 0g `  G ) )
2726oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
281, 3, 24grprid 15953 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
298, 9, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
3023, 27, 293eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  X )
311, 3grpass 15936 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( Y  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( Y  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
328, 13, 10, 18, 31syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
3326oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
341, 3, 24grprid 15953 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
358, 13, 34syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3632, 33, 353eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  Y )
3730, 36breq12d 4466 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( ( X  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  <-> 
X  .<  Y ) )
3821, 37mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  .<  Y )
395, 38impbida 830 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   ltcplt 15445   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926  oGrpcogrp 27512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-0g 14714  df-plt 15462  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-omnd 27513  df-ogrp 27514
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  27538
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