Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltbi Structured version   Unicode version

Theorem ogrpaddltbi 27686
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltbi  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem ogrpaddltbi
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ogrpaddlt.1 . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  G )
3 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3ogrpaddlt 27685 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )
543expa 1197 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
6 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e. oGrp )
7 ogrpgrp 27670 . . . . . 6  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e.  Grp )
9 simplr1 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  e.  B )
10 simplr3 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Z  e.  B )
111, 3grpcl 16041 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  B )
128, 9, 10, 11syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  B )
13 simplr2 1040 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Y  e.  B )
141, 3grpcl 16041 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
158, 13, 10, 14syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  B )
16 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
171, 16grpinvcl 16073 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
188, 10, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
19 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
201, 2, 3ogrpaddlt 27685 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Z
)  e.  B  /\  ( Y  .+  Z )  e.  B  /\  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )  /\  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
216, 12, 15, 18, 19, 20syl131anc 1242 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) 
.<  ( ( Y  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) ) )
221, 3grpass 16042 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( X  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
238, 9, 10, 18, 22syl13anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
24 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
251, 3, 24, 16grprinv 16075 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( 0g `  G ) )
268, 10, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( 0g `  G ) )
2726oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
281, 3, 24grprid 16059 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
298, 9, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
3023, 27, 293eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  X )
311, 3grpass 16042 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( Y  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( Y  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
328, 13, 10, 18, 31syl13anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
3326oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
341, 3, 24grprid 16059 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
358, 13, 34syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3632, 33, 353eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  Y )
3721, 30, 363brtr3d 4466 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  .<  Y )
385, 37impbida 832 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   0gc0g 14818   ltcplt 15548   Grpcgrp 16031   invgcminusg 16032  oGrpcogrp 27665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14820  df-plt 15566  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-omnd 27666  df-ogrp 27667
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  27691
  Copyright terms: Public domain W3C validator