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Theorem ogrpaddltbi 26187
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltbi  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem ogrpaddltbi
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ogrpaddlt.1 . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  G )
3 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3ogrpaddlt 26186 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )
543expa 1187 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
6 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e. oGrp )
7 ogrpgrp 26171 . . . . . 6  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e.  Grp )
9 simplr1 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  e.  B )
10 simplr3 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Z  e.  B )
111, 3grpcl 15556 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  B )
128, 9, 10, 11syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  B )
13 simplr2 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Y  e.  B )
141, 3grpcl 15556 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
158, 13, 10, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  B )
16 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
171, 16grpinvcl 15588 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
188, 10, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
19 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
201, 2, 3ogrpaddlt 26186 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Z
)  e.  B  /\  ( Y  .+  Z )  e.  B  /\  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )  /\  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
216, 12, 15, 18, 19, 20syl131anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) 
.<  ( ( Y  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) ) )
221, 3grpass 15557 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( X  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
238, 9, 10, 18, 22syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
24 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
251, 3, 24, 16grprinv 15590 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( 0g `  G ) )
268, 10, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( 0g `  G ) )
2726oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
281, 3, 24grprid 15574 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
298, 9, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
3023, 27, 293eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  X )
311, 3grpass 15557 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( Y  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( Y  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
328, 13, 10, 18, 31syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
3326oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
341, 3, 24grprid 15574 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
358, 13, 34syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3632, 33, 353eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  Y )
3730, 36breq12d 4310 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( ( X  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  <-> 
X  .<  Y ) )
3821, 37mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  .<  Y )
395, 38impbida 828 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   0gc0g 14383   ltcplt 15116   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416  oGrpcogrp 26166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-0g 14385  df-plt 15133  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-omnd 26167  df-ogrp 26168
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  26192
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