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Theorem ogrpaddltbi 26115
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
ogrpaddlt.1  |-  .<  =  ( lt `  G )
ogrpaddlt.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltbi  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem ogrpaddltbi
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ogrpaddlt.1 . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  G )
3 ogrpaddlt.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3ogrpaddlt 26114 . . 3  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )
543expa 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
6 simpll 748 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e. oGrp )
7 ogrpgrp 26099 . . . . . 6  |-  ( G  e. oGrp  ->  G  e.  Grp )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  G  e.  Grp )
9 simplr1 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  e.  B )
10 simplr3 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Z  e.  B )
111, 3grpcl 15544 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  B )
128, 9, 10, 11syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  B )
13 simplr2 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  Y  e.  B )
141, 3grpcl 15544 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
158, 13, 10, 14syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  B )
16 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
171, 16grpinvcl 15576 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
188, 10, 17syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
19 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )
201, 2, 3ogrpaddlt 26114 . . . 4  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Z
)  e.  B  /\  ( Y  .+  Z )  e.  B  /\  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )  /\  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
216, 12, 15, 18, 19, 20syl131anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) 
.<  ( ( Y  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) ) )
221, 3grpass 15545 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( X  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
238, 9, 10, 18, 22syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
24 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
251, 3, 24, 16grprinv 15578 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( 0g `  G ) )
268, 10, 25syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( 0g `  G ) )
2726oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
281, 3, 24grprid 15562 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
298, 9, 28syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
3023, 27, 293eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  X )
311, 3grpass 15545 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( Y  .+  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( Y  .+  ( Z 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) ) )
328, 13, 10, 18, 31syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
) ) )
3326oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
341, 3, 24grprid 15562 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
358, 13, 34syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3632, 33, 353eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  =  Y )
3730, 36breq12d 4302 . . 3  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  (
( ( X  .+  Z )  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) )  .<  (
( Y  .+  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) )  <-> 
X  .<  Y ) )
3821, 37mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X  .+  Z )  .< 
( Y  .+  Z
) )  ->  X  .<  Y )
395, 38impbida 823 1  |-  ( ( G  e. oGrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .+  Z )  .<  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   ltcplt 15107   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  oGrpcogrp 26094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-0g 14376  df-plt 15124  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-omnd 26095  df-ogrp 26096
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  26120
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