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Theorem oftpos 19414
Description: The transposition of the value of a function operation for two functions is the value of the function operation for the two functions transposed. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
oftpos  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  ( F  oF R G )  =  (tpos  F  oF Rtpos  G ) )

Proof of Theorem oftpos
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  F  e.  _V )
21adantr 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  F  e.  _V )
3 elex 3087 . . . 4  |-  ( G  e.  W  ->  G  e.  _V )
43adantl 467 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  G  e.  _V )
5 funmpt 5628 . . . 4  |-  Fun  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  Fun  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
7 dftpos4 6991 . . . 4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
8 tposexg 6986 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
98adantr 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  F  e.  _V )
107, 9syl5eqelr 2513 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  e.  _V )
11 dftpos4 6991 . . . 4  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
12 tposexg 6986 . . . . 5  |-  ( G  e.  W  -> tpos  G  e. 
_V )
1312adantl 467 . . . 4  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  G  e.  _V )
1411, 13syl5eqelr 2513 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  e.  _V )
15 ofco2 19413 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( F  o.  ( x  e.  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  e. 
_V  /\  ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  e. 
_V ) )  -> 
( ( F  oF R G )  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  oF R ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) ) )
162, 4, 6, 10, 14, 15syl23anc 1271 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  ( ( F  oF R G )  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  oF R ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) ) )
17 dftpos4 6991 . 2  |- tpos  ( F  oF R G )  =  ( ( F  oF R G )  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
187, 11oveq12i 6308 . 2  |-  (tpos  F  oF Rtpos  G
)  =  ( ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  oF R ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
1916, 17, 183eqtr4g 2486 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  ( F  oF R G )  =  (tpos  F  oF Rtpos  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    u. cun 3431   (/)c0 3758   {csn 3993   U.cuni 4213    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    o. ccom 4849   Fun wfun 5586  (class class class)co 6296    oFcof 6534  tpos ctpos 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-tpos 6972
This theorem is referenced by:  mattposvs  19417
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