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Theorem oftpos 18761
Description: The transposition of the value of a function operation for two functions is the value of the function operation for the two functions transposed. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
oftpos  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  ( F  oF R G )  =  (tpos  F  oF Rtpos  G ) )

Proof of Theorem oftpos
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  F  e.  _V )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  F  e.  _V )
3 elex 3122 . . . 4  |-  ( G  e.  W  ->  G  e.  _V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  G  e.  _V )
5 funmpt 5624 . . . 4  |-  Fun  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  Fun  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
7 dftpos4 6975 . . . 4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
8 tposexg 6970 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  F  e.  _V )
107, 9syl5eqelr 2560 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  e.  _V )
11 dftpos4 6975 . . . 4  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
12 tposexg 6970 . . . . 5  |-  ( G  e.  W  -> tpos  G  e. 
_V )
1312adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  G  e.  _V )
1411, 13syl5eqelr 2560 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  e.  _V )
15 ofco2 18760 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( F  o.  ( x  e.  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  e. 
_V  /\  ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  e. 
_V ) )  -> 
( ( F  oF R G )  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  oF R ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) ) )
162, 4, 6, 10, 14, 15syl23anc 1235 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  ->  ( ( F  oF R G )  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  oF R ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) ) )
17 dftpos4 6975 . 2  |- tpos  ( F  oF R G )  =  ( ( F  oF R G )  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
187, 11oveq12i 6297 . 2  |-  (tpos  F  oF Rtpos  G
)  =  ( ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  oF R ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
1916, 17, 183eqtr4g 2533 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  G  e.  W )  -> tpos  ( F  oF R G )  =  (tpos  F  oF Rtpos  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    o. ccom 5003   Fun wfun 5582  (class class class)co 6285    oFcof 6523  tpos ctpos 6955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-tpos 6956
This theorem is referenced by:  mattposvs  18764
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