Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofsubid Structured version   Unicode version

Theorem ofsubid 31056
Description: Function analog of subid 9839. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofsubid  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  oF  -  F )  =  ( A  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem ofsubid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  A  e.  V
)
2 ffn 5731 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
32adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  F  Fn  A
)
4 c0ex 9591 . . . 4  |-  0  e.  _V
54fconst 5771 . . 3  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
6 ffn 5731 . . 3  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  ( A  X.  { 0 } )  Fn  A
)
75, 6mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  Fn  A )
8 eqidd 2468 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
9 ffvelrn 6020 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
109subidd 9919 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  x )
)  =  0 )
1110adantll 713 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  x ) )  =  0 )
124fvconst2 6117 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
1312adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
1411, 13eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  x ) )  =  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) )
151, 3, 3, 7, 8, 8, 14offveq 6546 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  oF  -  F )  =  ( A  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027    X. cxp 4997    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oFcof 6523   CCcc 9491   0cc0 9493    - cmin 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-sub 9808
This theorem is referenced by:  expgrowth  31067
  Copyright terms: Public domain W3C validator