Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofoprabco Structured version   Unicode version

Theorem ofoprabco 27319
 Description: Function operation as a composition with an operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ofoprabco.1
ofoprabco.2
ofoprabco.3
ofoprabco.4
ofoprabco.5
ofoprabco.6
Assertion
Ref Expression
ofoprabco
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem ofoprabco
StepHypRef Expression
1 ofoprabco.5 . . . . . 6
2 ofoprabco.2 . . . . . . . 8
32ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
4 ofoprabco.3 . . . . . . . 8
54ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
6 opelxpi 5037 . . . . . . 7
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6
81, 7fvmpt2d 5966 . . . . 5
98fveq2d 5876 . . . 4
10 df-ov 6298 . . . . 5
1110a1i 11 . . . 4
12 ofoprabco.6 . . . . . 6
1312adantr 465 . . . . 5
14 simprl 755 . . . . . 6
15 simprr 756 . . . . . 6
1614, 15oveq12d 6313 . . . . 5
17 ovex 6320 . . . . . 6
1817a1i 11 . . . . 5
1913, 16, 3, 5, 18ovmpt2d 6425 . . . 4
209, 11, 193eqtr2d 2514 . . 3
2120mpteq2dva 4539 . 2
22 ovex 6320 . . . . . 6
2322rgen2w 2829 . . . . 5
24 eqid 2467 . . . . . 6
2524fmpt2 6862 . . . . 5
2623, 25mpbi 208 . . . 4
2712feq1d 5723 . . . 4
2826, 27mpbiri 233 . . 3
291, 7fmpt3d 27310 . . 3
30 ofoprabco.1 . . . 4
3130fcomptf 27317 . . 3
3228, 29, 31syl2anc 661 . 2
33 ofoprabco.4 . . 3
342feqmptd 5927 . . 3
354feqmptd 5927 . . 3
3633, 3, 5, 34, 35offval2 6551 . 2
3721, 32, 363eqtr4rd 2519 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wnfc 2615  wral 2817  cvv 3118  cop 4039   cmpt 4511   cxp 5003   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297   cof 6533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-1st 6795  df-2nd 6796 This theorem is referenced by:  ofpreima  27321  rrvadd  28207
 Copyright terms: Public domain W3C validator