Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldlt1 Structured version   Unicode version

Theorem ofldlt1 28565
Description: In an ordered field, the ring unit is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orng0le1.1  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
orng0le1.2  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
ofld0lt1.3  |-  .<  =  ( lt `  F )
Assertion
Ref Expression
ofldlt1  |-  ( F  e. oField  ->  .0.  .<  .1.  )

Proof of Theorem ofldlt1
StepHypRef Expression
1 isofld 28554 . . . 4  |-  ( F  e. oField 
<->  ( F  e. Field  /\  F  e. oRing ) )
21simprbi 465 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. oRing )
3 orng0le1.1 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
4 orng0le1.2 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
5 eqid 2420 . . . 4  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
63, 4, 5orng0le1 28564 . . 3  |-  ( F  e. oRing  ->  .0.  ( le `  F )  .1.  )
72, 6syl 17 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  .0.  ( le `  F )  .1.  )
8 ofldfld 28562 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
9 isfld 17962 . . . . 5  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
109simplbi 461 . . . 4  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  DivRing )
113, 4drngunz 17968 . . . 4  |-  ( F  e.  DivRing  ->  .1.  =/=  .0.  )
128, 10, 113syl 18 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  .1.  =/=  .0.  )
1312necomd 2693 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  .0.  =/=  .1.  )
14 fvex 5883 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  e. 
_V
153, 14eqeltri 2504 . . 3  |-  .0.  e.  _V
16 fvex 5883 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  e. 
_V
174, 16eqeltri 2504 . . 3  |-  .1.  e.  _V
18 ofld0lt1.3 . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  F )
195, 18pltval 16184 . . 3  |-  ( ( F  e. oField  /\  .0.  e.  _V  /\  .1.  e.  _V )  ->  (  .0.  .<  .1.  <->  (  .0.  ( le `  F )  .1.  /\  .0.  =/=  .1.  ) ) )
2015, 17, 19mp3an23 1352 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  (  .0.  .<  .1.  <->  (  .0.  ( le `  F )  .1.  /\  .0.  =/=  .1.  ) ) )
217, 13, 20mpbir2and 930 1  |-  ( F  e. oField  ->  .0.  .<  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078   class class class wbr 4417   ` cfv 5593   lecple 15175   0gc0g 15316   ltcplt 16164   1rcur 17713   CRingccrg 17759   DivRingcdr 17953  Fieldcfield 17954  oRingcorng 28547  oFieldcofld 28548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-0g 15318  df-preset 16151  df-poset 16169  df-plt 16182  df-toset 16258  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-grp 16651  df-minusg 16652  df-mgp 17702  df-ur 17714  df-ring 17760  df-oppr 17829  df-dvdsr 17847  df-unit 17848  df-drng 17955  df-field 17956  df-omnd 28450  df-ogrp 28451  df-orng 28549  df-ofld 28550
This theorem is referenced by:  ofldchr  28566  isarchiofld  28569
  Copyright terms: Public domain W3C validator