Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Unicode version

Theorem ofldchr 26201
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( od
`  F )  =  ( od `  F
)
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
3 eqid 2441 . . 3  |-  (chr `  F )  =  (chr
`  F )
41, 2, 3chrval 17856 . 2  |-  ( ( od `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  =  (chr `  F )
5 ofldfld 26197 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
6 isfld 16821 . . . . . 6  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
76simplbi 457 . . . . 5  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  DivRing )
8 drngrng 16819 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing  ->  F  e.  Ring )
95, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Ring )
10 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1110, 2rngidcl 16655 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
12 eqid 2441 . . . . 5  |-  (.g `  F
)  =  (.g `  F
)
13 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
14 eqid 2441 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }
1510, 12, 13, 1, 14odval 16030 . . . 4  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( ( od `  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
169, 11, 153syl 20 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
17 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
1817breq2d 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
20 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2120breq2d 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2221imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
23 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2423breq2d 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
26 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2726breq2d 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
29 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( lt
`  F )  =  ( lt `  F
)
3013, 2, 29ofldlt1 26200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
319, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
3210, 12mulg1 15627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1r
`  F ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 1r `  F ) )
3430, 33breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
35 ofldtos 26198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Toset )
36 tospos 26036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Poset )
3837ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Poset )
39 rnggrp 16640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
409, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Grp )
4140ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Grp )
4210, 13grpidcl 15559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Grp  ->  ( 0g `  F )  e.  ( Base `  F
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )
)
44 grpmnd 15543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Mnd )
46 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  m  e.  NN )
4731ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
4810, 12mulgnncl 15635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5046peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
5110, 12mulgnncl 15635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  ( m  +  1
)  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
5245, 50, 47, 51syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5343, 49, 523jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )
54 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
55 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oField )
56 isofld 26189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. oField 
<->  ( F  e. Field  /\  F  e. oRing ) )
5756simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. oRing )
58 orngogrp 26188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. oRing  ->  F  e. oGrp )
5955, 57, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oGrp )
6043, 47, 493jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) ) )
6155, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
62 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
6310, 29, 62ogrpaddlt 26098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e. oGrp  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( ( 0g `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ( lt
`  F ) ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
6459, 60, 61, 63syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) ( lt `  F
) ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6510, 62, 13grplid 15561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( 0g `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
6641, 49, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
6766eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6810, 12, 62mulgnnp1 15628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
6946, 47, 68syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
70 rngcmn 16665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. CMnd
)
7155, 9, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. CMnd )
7210, 62cmncom 16286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e. CMnd  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F ) ( 1r `  F
) )  =  ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
7371, 49, 47, 72syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( ( 1r `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7469, 73eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7564, 67, 743brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
7654, 75jca 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( lt `  F ) ( ( m  + 
1 ) (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7710, 29plttr 15136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  /\  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  Poset  /\  ( ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( (
m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  /\  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( lt `  F ) ( ( m  + 
1 ) (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7938, 53, 76, 78syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  ->  ( ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
8281a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
8319, 22, 25, 28, 34, 82nnind 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
8483impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
85 fvex 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  e. 
_V
86 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V
8729pltne 15128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( 0g `  F )  e. 
_V  /\  ( y
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8885, 86, 87mp3an23 1301 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( 0g `  F
)  =/=  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8988adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
9084, 89mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F )  =/=  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
9190necomd 2693 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =/=  ( 0g
`  F ) )
9291neneqd 2622 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9392ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
94 rabeq0 3656 . . . . 5  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  <->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9593, 94sylibr 212 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) )
96 iftrue 3794 . . . 4  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  0 )
9795, 96syl 16 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  if ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  0 )
9816, 97eqtrd 2473 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  0 )
994, 98syl5eqr 2487 1  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414   NNcn 10318   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Posetcpo 15106   ltcplt 15107  Tosetctos 15199   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406  .gcmg 15410   odcod 16021  CMndccmn 16270   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   DivRingcdr 16812  Fieldcfield 16813  chrcchr 17833  oGrpcogrp 26078  oRingcorng 26182  oFieldcofld 26183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-poset 15112  df-plt 15124  df-toset 15200  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-od 16025  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-drng 16814  df-field 16815  df-chr 17837  df-omnd 26079  df-ogrp 26080  df-orng 26184  df-ofld 26185
This theorem is referenced by:  rerrext  26358  cnrrext  26359
  Copyright terms: Public domain W3C validator