Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Unicode version

Theorem ofldchr 28570
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . 3  |-  ( od
`  F )  =  ( od `  F
)
2 eqid 2422 . . 3  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
3 eqid 2422 . . 3  |-  (chr `  F )  =  (chr
`  F )
41, 2, 3chrval 19080 . 2  |-  ( ( od `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  =  (chr `  F )
5 ofldfld 28566 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
6 isfld 17969 . . . . . 6  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
76simplbi 461 . . . . 5  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  DivRing )
8 drngring 17967 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing  ->  F  e.  Ring )
95, 7, 83syl 18 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Ring )
10 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1110, 2ringidcl 17786 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
12 eqid 2422 . . . . 5  |-  (.g `  F
)  =  (.g `  F
)
13 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
14 eqid 2422 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }
1510, 12, 13, 1, 14odval 17165 . . . 4  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( ( od `  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 , inf ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  <  ) ) )
169, 11, 153syl 18 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 , inf ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  <  ) ) )
17 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
1817breq2d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
1918imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
20 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2120breq2d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2221imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
23 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2423breq2d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2524imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
26 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2726breq2d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2827imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
29 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( lt
`  F )  =  ( lt `  F
)
3013, 2, 29ofldlt1 28569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
3210, 12mulg1 16750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1r
`  F ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 1r `  F ) )
3430, 33breqtrrd 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
35 ofldtos 28567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Toset )
36 tospos 28411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Poset )
3837ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Poset )
39 ringgrp 17770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Grp )
4140ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Grp )
4210, 13grpidcl 16679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Grp  ->  ( 0g `  F )  e.  ( Base `  F
) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )
)
44 grpmnd 16663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Mnd )
46 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  m  e.  NN )
4731ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
4810, 12mulgnncl 16758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5046peano2nnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
5110, 12mulgnncl 16758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  ( m  +  1
)  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
5245, 50, 47, 51syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5343, 49, 523jca 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )
54 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
55 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oField )
56 isofld 28558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. oField 
<->  ( F  e. Field  /\  F  e. oRing ) )
5756simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. oRing )
58 orngogrp 28557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oRing  ->  F  e. oGrp )
5955, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oGrp )
6030ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
61 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
6210, 29, 61ogrpaddlt 28473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. oGrp  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( ( 0g `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ( lt
`  F ) ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
6359, 43, 47, 49, 60, 62syl131anc 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) ( lt `  F
) ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6410, 61, 13grplid 16681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( 0g `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
6541, 49, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
6665eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6710, 12, 61mulgnnp1 16751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
6846, 47, 67syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
69 ringcmn 17796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. CMnd
)
7055, 9, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. CMnd )
7110, 61cmncom 17431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e. CMnd  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F ) ( 1r `  F
) )  =  ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
7270, 49, 47, 71syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( ( 1r `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7368, 72eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7463, 66, 733brtr4d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
7510, 29plttr 16201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  /\  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7675imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  Poset  /\  ( ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( (
m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  /\  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( lt `  F ) ( ( m  + 
1 ) (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7738, 53, 54, 74, 76syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7877exp31 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
7978a2d 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
8019, 22, 25, 28, 34, 79nnind 10627 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
8180impcom 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
82 fvex 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  e. 
_V
83 ovex 6329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V
8429pltne 16193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( 0g `  F )  e. 
_V  /\  ( y
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8582, 83, 84mp3an23 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( 0g `  F
)  =/=  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8685adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8781, 86mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F )  =/=  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
8887necomd 2695 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =/=  ( 0g
`  F ) )
8988neneqd 2625 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9089ralrimiva 2839 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
91 rabeq0 3784 . . . . 5  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  <->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9290, 91sylibr 215 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) )
9392iftrued 3917 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  if ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/) ,  0 , inf ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
9416, 93eqtrd 2463 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  0 )
954, 94syl5eqr 2477 1  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   {crab 2779   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   ifcif 3909   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301  infcinf 7957   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675   NNcn 10609   Basecbs 15106   +g cplusg 15175   0gc0g 15323   Posetcpo 16170   ltcplt 16171  Tosetctos 16264   Mndcmnd 16520   Grpcgrp 16654  .gcmg 16657   odcod 17150  CMndccmn 17415   1rcur 17720   Ringcrg 17765   CRingccrg 17766   DivRingcdr 17960  Fieldcfield 17961  chrcchr 19057  oGrpcogrp 28453  oRingcorng 28551  oFieldcofld 28552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12213  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-0g 15325  df-preset 16158  df-poset 16176  df-plt 16189  df-toset 16265  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-mulg 16661  df-od 17157  df-cmn 17417  df-abl 17418  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-oppr 17836  df-dvdsr 17854  df-unit 17855  df-drng 17962  df-field 17963  df-chr 19061  df-omnd 28454  df-ogrp 28455  df-orng 28553  df-ofld 28554
This theorem is referenced by:  rerrext  28806  cnrrext  28807
  Copyright terms: Public domain W3C validator