Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Unicode version

Theorem ofldchr 24197
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( od
`  F )  =  ( od `  F
)
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
3 eqid 2404 . . 3  |-  (chr `  F )  =  (chr
`  F )
41, 2, 3chrval 16761 . 2  |-  ( ( od `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  =  (chr `  F )
5 ofldfld 24189 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
6 isfld 15799 . . . . . 6  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
76simplbi 447 . . . . 5  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  DivRing )
8 drngrng 15797 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing  ->  F  e.  Ring )
95, 7, 83syl 19 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Ring )
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1110, 2rngidcl 15639 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
12 eqid 2404 . . . . 5  |-  (.g `  F
)  =  (.g `  F
)
13 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
14 eqid 2404 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }
1510, 12, 13, 1, 14odval 15127 . . . 4  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( ( od `  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
169, 11, 153syl 19 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
17 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
1817breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
1918imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
20 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2120breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2221imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
23 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2423breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2524imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
26 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2726breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2827imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
29 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( lt
`  F )  =  ( lt `  F
)
3013, 2, 29ofldlt1 24196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
319, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
3210, 12mulg1 14852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1r
`  F ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 1r `  F ) )
3430, 33breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
35 ofldtos 24190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Toset )
36 tospos 24139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Poset )
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Poset )
39 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
409, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Grp )
4140ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Grp )
4210, 13grpidcl 14788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Grp  ->  ( 0g `  F )  e.  ( Base `  F
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )
)
44 grpmnd 14772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Mnd )
46 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  m  e.  NN )
4731ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
4810, 12mulgnncl 14860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5046peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
5110, 12mulgnncl 14860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  ( m  +  1
)  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
5245, 50, 47, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5343, 49, 523jca 1134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )
54 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
55 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oField )
5630ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
57 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
5810, 29, 57ofldaddlt 24194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. oField  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( ( 0g `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ( lt
`  F ) ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
5955, 43, 47, 49, 56, 58syl131anc 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) ( lt `  F
) ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6010, 57, 13grplid 14790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( 0g `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
6141, 49, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
6261eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6310, 12, 57mulgnnp1 14853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
6446, 47, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
65 rngcmn 15649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. CMnd
)
6655, 9, 653syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. CMnd )
6710, 57cmncom 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e. CMnd  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F ) ( 1r `  F
) )  =  ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
6866, 49, 47, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( ( 1r `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
6964, 68eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7059, 62, 693brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
7110, 29plttr 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  /\  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7271imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  Poset  /\  ( ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( (
m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  /\  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( lt `  F ) ( ( m  + 
1 ) (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7338, 53, 54, 70, 72syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7473exp31 588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
7574a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
7619, 22, 25, 28, 34, 75nnind 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7776impcom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
78 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  e. 
_V
79 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V
8029pltne 14374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( 0g `  F )  e. 
_V  /\  ( y
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8178, 79, 80mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( 0g `  F
)  =/=  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8281adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8377, 82mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F )  =/=  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
8483necomd 2650 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =/=  ( 0g
`  F ) )
8584neneqd 2583 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
8685ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
87 rabeq0 3609 . . . . 5  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  <->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
8886, 87sylibr 204 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) )
89 iftrue 3705 . . . 4  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  0 )
9088, 89syl 16 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  if ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  0 )
9116, 90eqtrd 2436 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  0 )
924, 91syl5eqr 2450 1  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076   NNcn 9956   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Posetcpo 14352   ltcplt 14353  Tosetctos 14417   Mndcmnd 14639   Grpcgrp 14640  .gcmg 14644   odcod 15118  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617   DivRingcdr 15790  Fieldcfield 15791  chrcchr 16735  oFieldcofld 24186
This theorem is referenced by:  rrhre  24340  sitgclcn  24611  sitgclre  24612  sitmcl  24616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-toset 14418  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-drng 15792  df-field 15793  df-chr 16739  df-ofld 24187
  Copyright terms: Public domain W3C validator