Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ofldchr 28577
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( od
`  F )  =  ( od `  F
)
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
3 eqid 2451 . . 3  |-  (chr `  F )  =  (chr
`  F )
41, 2, 3chrval 19096 . 2  |-  ( ( od `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  =  (chr `  F )
5 ofldfld 28573 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
6 isfld 17984 . . . . . 6  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
76simplbi 462 . . . . 5  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  DivRing )
8 drngring 17982 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing  ->  F  e.  Ring )
95, 7, 83syl 18 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Ring )
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1110, 2ringidcl 17801 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
12 eqid 2451 . . . . 5  |-  (.g `  F
)  =  (.g `  F
)
13 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }
1510, 12, 13, 1, 14odval 17180 . . . 4  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( ( od `  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 , inf ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  <  ) ) )
169, 11, 153syl 18 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 , inf ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  <  ) ) )
17 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
1817breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
1918imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
20 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2120breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2221imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
23 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2423breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2524imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
26 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2726breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2827imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
29 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( lt
`  F )  =  ( lt `  F
)
3013, 2, 29ofldlt1 28576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
3210, 12mulg1 16765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1r
`  F ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 1r `  F ) )
3430, 33breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
35 ofldtos 28574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Toset )
36 tospos 28419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Poset )
3837ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Poset )
39 ringgrp 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Grp )
4140ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Grp )
4210, 13grpidcl 16694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Grp  ->  ( 0g `  F )  e.  ( Base `  F
) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )
)
44 grpmnd 16678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Mnd )
46 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  m  e.  NN )
4731ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
4810, 12mulgnncl 16773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5046peano2nnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
5110, 12mulgnncl 16773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  ( m  +  1
)  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
5245, 50, 47, 51syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5343, 49, 523jca 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )
54 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
55 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oField )
56 isofld 28565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. oField 
<->  ( F  e. Field  /\  F  e. oRing ) )
5756simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. oRing )
58 orngogrp 28564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oRing  ->  F  e. oGrp )
5955, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oGrp )
6030ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
61 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
6210, 29, 61ogrpaddlt 28481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. oGrp  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( ( 0g `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ( lt
`  F ) ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
6359, 43, 47, 49, 60, 62syl131anc 1281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) ( lt `  F
) ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6410, 61, 13grplid 16696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( 0g `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
6541, 49, 64syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
6665eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6710, 12, 61mulgnnp1 16766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
6846, 47, 67syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
69 ringcmn 17811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. CMnd
)
7055, 9, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. CMnd )
7110, 61cmncom 17446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e. CMnd  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F ) ( 1r `  F
) )  =  ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
7270, 49, 47, 71syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( ( 1r `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7368, 72eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7463, 66, 733brtr4d 4433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
7510, 29plttr 16216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  /\  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7675imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  Poset  /\  ( ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( (
m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  /\  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( lt `  F ) ( ( m  + 
1 ) (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7738, 53, 54, 74, 76syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7877exp31 609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
7978a2d 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
8019, 22, 25, 28, 34, 79nnind 10627 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
8180impcom 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
82 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  e. 
_V
83 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V
8429pltne 16208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( 0g `  F )  e. 
_V  /\  ( y
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8582, 83, 84mp3an23 1356 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( 0g `  F
)  =/=  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8685adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8781, 86mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F )  =/=  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
8887necomd 2679 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =/=  ( 0g
`  F ) )
8988neneqd 2629 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9089ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
91 rabeq0 3754 . . . . 5  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  <->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9290, 91sylibr 216 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) )
9392iftrued 3889 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  if ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/) ,  0 , inf ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
9416, 93eqtrd 2485 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  0 )
954, 94syl5eqr 2499 1  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675   NNcn 10609   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   Posetcpo 16185   ltcplt 16186  Tosetctos 16279   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669  .gcmg 16672   odcod 17165  CMndccmn 17430   1rcur 17735   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   DivRingcdr 17975  Fieldcfield 17976  chrcchr 19073  oGrpcogrp 28461  oRingcorng 28558  oFieldcofld 28559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12214  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-toset 16280  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-od 17172  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-drng 17977  df-field 17978  df-chr 19077  df-omnd 28462  df-ogrp 28463  df-orng 28560  df-ofld 28561
This theorem is referenced by:  rerrext  28813  cnrrext  28814
  Copyright terms: Public domain W3C validator