Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Unicode version

Theorem ofldchr 27677
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( od
`  F )  =  ( od `  F
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
3 eqid 2443 . . 3  |-  (chr `  F )  =  (chr
`  F )
41, 2, 3chrval 18435 . 2  |-  ( ( od `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  =  (chr `  F )
5 ofldfld 27673 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
6 isfld 17279 . . . . . 6  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
76simplbi 460 . . . . 5  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  DivRing )
8 drngring 17277 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing  ->  F  e.  Ring )
95, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Ring )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1110, 2ringidcl 17093 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  (.g `  F
)  =  (.g `  F
)
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
14 eqid 2443 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }
1510, 12, 13, 1, 14odval 16432 . . . 4  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( ( od `  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
169, 11, 153syl 20 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
17 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
1817breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
20 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2120breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2221imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
23 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2423breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
26 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
2726breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( n (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  <->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( n (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  <->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( lt
`  F )  =  ( lt `  F
)
3013, 2, 29ofldlt1 27676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
319, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
3210, 12mulg1 16023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 1r
`  F ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. oField  ->  ( 1 (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 1r `  F ) )
3430, 33breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1 (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
35 ofldtos 27674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Toset )
36 tospos 27519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Poset )
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Poset )
39 ringgrp 17077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
409, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Grp )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Grp )
4210, 13grpidcl 15952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Grp  ->  ( 0g `  F )  e.  ( Base `  F
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )
)
44 grpmnd 15936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e.  Mnd )
46 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  m  e.  NN )
4731ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )
)
4810, 12mulgnncl 16031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5046peano2nnd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
5110, 12mulgnncl 16031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  ( m  +  1
)  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )
5245, 50, 47, 51syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  e.  ( Base `  F
) )
5343, 49, 523jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
55 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oField )
56 isofld 27665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. oField 
<->  ( F  e. Field  /\  F  e. oRing ) )
5756simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. oRing )
58 orngogrp 27664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oRing  ->  F  e. oGrp )
5955, 57, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. oGrp )
6043, 47, 493jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 1r `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) ) )
6155, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( 1r `  F ) )
62 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
6310, 29, 62ogrpaddlt 27581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. oGrp  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( m
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( ( 0g `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ( lt
`  F ) ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
6459, 60, 61, 63syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) ( lt `  F
) ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6510, 62, 13grplid 15954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( 0g `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
6641, 49, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  =  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
6766eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 0g
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
6810, 12, 62mulgnnp1 16024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
6946, 47, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) ) )
70 ringcmn 17103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. CMnd
)
7155, 9, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  F  e. CMnd )
7210, 62cmncom 16688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e. CMnd  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F ) ( 1r `  F
) )  =  ( ( 1r `  F
) ( +g  `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ) )
7371, 49, 47, 72syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ( +g  `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( ( 1r `  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7469, 73eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( ( 1r
`  F ) ( +g  `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
7564, 67, 743brtr4d 4467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )
7610, 29plttr 15474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  (
( 0g `  F
)  e.  ( Base `  F )  /\  (
m (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F )  /\  (
( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  /\  ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) ( lt `  F
) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
7776imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  Poset  /\  ( ( 0g `  F )  e.  (
Base `  F )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F
)  /\  ( (
m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  ( Base `  F ) ) )  /\  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  /\  ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ( lt `  F ) ( ( m  + 
1 ) (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7838, 53, 54, 75, 77syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  F  e. oField )  /\  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( m (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) )
7978exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
8079a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F
) ( m (.g `  F ) ( 1r
`  F ) ) )  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( ( m  +  1 ) (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) ) )
8119, 22, 25, 28, 34, 80nnind 10560 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( F  e. oField  ->  ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) ) )
8281impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
83 fvex 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  e. 
_V
84 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V
8529pltne 15466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( 0g `  F )  e. 
_V  /\  ( y
(.g `  F ) ( 1r `  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  F ) ( lt
`  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8683, 84, 85mp3an23 1317 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( 0g
`  F ) ( lt `  F ) ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  -> 
( 0g `  F
)  =/=  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 0g `  F
) ( lt `  F ) ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  ->  ( 0g `  F )  =/=  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) ) ) )
8882, 87mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  ( 0g `  F )  =/=  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) ) )
8988necomd 2714 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  (
y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =/=  ( 0g
`  F ) )
9089neneqd 2645 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. oField  /\  y  e.  NN )  ->  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9190ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( F  e. oField  ->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
92 rabeq0 3793 . . . . 5  |-  ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/)  <->  A. y  e.  NN  -.  ( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) )
9391, 92sylibr 212 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g
`  F ) }  =  (/) )
9493iftrued 3934 . . 3  |-  ( F  e. oField  ->  if ( { y  e.  NN  | 
( y (.g `  F
) ( 1r `  F ) )  =  ( 0g `  F
) }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y (.g `  F ) ( 1r
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  0 )
9516, 94eqtrd 2484 . 2  |-  ( F  e. oField  ->  ( ( od
`  F ) `  ( 1r `  F ) )  =  0 )
964, 95syl5eqr 2498 1  |-  ( F  e. oField  ->  (chr `  F
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   ifcif 3926   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    < clt 9631   NNcn 10542   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   Posetcpo 15443   ltcplt 15444  Tosetctos 15537   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15927  .gcmg 15930   odcod 16423  CMndccmn 16672   1rcur 17027   Ringcrg 17072   CRingccrg 17073   DivRingcdr 17270  Fieldcfield 17271  chrcchr 18412  oGrpcogrp 27561  oRingcorng 27658  oFieldcofld 27659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-seq 12087  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-mulg 15934  df-od 16427  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-drng 17272  df-field 17273  df-chr 18416  df-omnd 27562  df-ogrp 27563  df-orng 27660  df-ofld 27661
This theorem is referenced by:  rerrext  27863  cnrrext  27864
  Copyright terms: Public domain W3C validator