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Theorem ofco2 18826
Description: Distribution law for the function operation and the composition of functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofco2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) ) )

Proof of Theorem ofco2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1003 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  Fun  H )
2 fvimacnvi 5986 . . . 4  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
31, 2sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
4 funfn 5607 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
H  <->  H  Fn  dom  H )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  H  Fn  dom  H )
6 dffn5 5903 . . . . . 6  |-  ( H  Fn  dom  H  <->  H  =  ( x  e.  dom  H 
|->  ( H `  x
) ) )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  H  =  ( x  e.  dom  H 
|->  ( H `  x
) ) )
87reseq1d 5262 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( ( x  e.  dom  H  |->  ( H `  x ) )  |`  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) ) ) )
9 cnvimass 5347 . . . . 5  |-  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  C_  dom  H
10 resmpt 5313 . . . . 5  |-  ( ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  C_  dom  H  -> 
( ( x  e. 
dom  H  |->  ( H `
 x ) )  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( H `  x ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  dom  H  |->  ( H `  x
) )  |`  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  |->  ( H `  x ) )
128, 11syl6eq 2500 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( H `  x ) ) )
13 offval3 6779 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  oF R G )  =  ( y  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 y ) R ( G `  y
) ) ) )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  =  ( y  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  y
) R ( G `
 y ) ) ) )
15 fveq2 5856 . . . 4  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( H `  x ) ) )
16 fveq2 5856 . . . 4  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( H `  x ) ) )
1715, 16oveq12d 6299 . . 3  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  (
( F `  y
) R ( G `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( H `  x ) ) R ( G `  ( H `  x )
) ) )
183, 12, 14, 17fmptco 6049 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
19 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e. 
_V
2019rgenw 2804 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e. 
_V
21 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) )
2221fnmpt 5697 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
2320, 22mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
24 offval3 6779 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  oF R G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x ) R ( G `  x
) ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) ) )
2625fneq1d 5661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  Fn  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x ) R ( G `  x
) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  Fn  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
28 fndm 5670 . . . . 5  |-  ( ( F  oF R G )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  dom  ( F  oF R G )  =  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  dom  ( F  oF R G )  =  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
30 eqimss 3541 . . . 4  |-  ( dom  ( F  oF R G )  =  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  dom  ( F  oF
R G )  C_  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
31 cores2 5510 . . . 4  |-  ( dom  ( F  oF R G )  C_  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  H ) )
3229, 30, 313syl 20 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  H ) )
33 funcnvres2 5649 . . . . 5  |-  ( Fun 
H  ->  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  =  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )
341, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  =  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )
3534coeq2d 5155 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) ) ) )
3632, 35eqtr3d 2486 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) ) )
37 simpr2 1004 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  o.  H )  e.  _V )
38 simpr3 1005 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( G  o.  H )  e.  _V )
39 offval3 6779 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i  dom  ( G  o.  H
) )  |->  ( ( ( F  o.  H
) `  x ) R ( ( G  o.  H ) `  x ) ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  |->  ( ( ( F  o.  H ) `  x
) R ( ( G  o.  H ) `
 x ) ) ) )
41 inpreima 5999 . . . . . 6  |-  ( Fun 
H  ->  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) ) )
421, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) ) )
43 dmco 5505 . . . . . 6  |-  dom  ( F  o.  H )  =  ( `' H " dom  F )
44 dmco 5505 . . . . . 6  |-  dom  ( G  o.  H )  =  ( `' H " dom  G )
4543, 44ineq12i 3683 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) )
4642, 45syl6reqr 2503 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  =  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )
47 simplr1 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  Fun  H )
48 inss2 3704 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  ( G  o.  H )
49 dmcoss 5252 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  o.  H )  C_ 
dom  H
5048, 49sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H )
5251sselda 3489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  x  e.  dom  H )
53 fvco 5934 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  dom  H )  -> 
( ( F  o.  H ) `  x
)  =  ( F `
 ( H `  x ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( F  o.  H ) `  x )  =  ( F `  ( H `
 x ) ) )
55 inss1 3703 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  ( F  o.  H )
56 dmcoss 5252 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  o.  H )  C_ 
dom  H
5755, 56sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H )
5958sselda 3489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  x  e.  dom  H )
60 fvco 5934 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  dom  H )  -> 
( ( G  o.  H ) `  x
)  =  ( G `
 ( H `  x ) ) )
6147, 59, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( G  o.  H ) `  x )  =  ( G `  ( H `
 x ) ) )
6254, 61oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( ( F  o.  H ) `
 x ) R ( ( G  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) )
6346, 62mpteq12dva 4514 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) )  |->  ( ( ( F  o.  H ) `  x
) R ( ( G  o.  H ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
6440, 63eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
6518, 36, 643eqtr4d 2494 1  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   dom cdm 4989    |` cres 4991   "cima 4992    o. ccom 4993   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525
This theorem is referenced by:  oftpos  18827
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