Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofco2 Structured version   Unicode version

Theorem ofco2 18748
 Description: Distribution law for the function operation and the composition of functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofco2

Proof of Theorem ofco2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4
2 fvimacnvi 5995 . . . 4
31, 2sylan 471 . . 3
4 funfn 5617 . . . . . . 7
51, 4sylib 196 . . . . . 6
6 dffn5 5913 . . . . . 6
75, 6sylib 196 . . . . 5
87reseq1d 5272 . . . 4
9 cnvimass 5357 . . . . 5
10 resmpt 5323 . . . . 5
119, 10ax-mp 5 . . . 4
128, 11syl6eq 2524 . . 3
13 offval3 6778 . . . 4
15 fveq2 5866 . . . 4
16 fveq2 5866 . . . 4
1715, 16oveq12d 6302 . . 3
183, 12, 14, 17fmptco 6054 . 2
19 ovex 6309 . . . . . . . 8
2019rgenw 2825 . . . . . . 7
21 eqid 2467 . . . . . . . 8
2221fnmpt 5707 . . . . . . 7
2320, 22mp1i 12 . . . . . 6
24 offval3 6778 . . . . . . . 8
2524adantr 465 . . . . . . 7
2625fneq1d 5671 . . . . . 6
2723, 26mpbird 232 . . . . 5
28 fndm 5680 . . . . 5
2927, 28syl 16 . . . 4
30 eqimss 3556 . . . 4
31 cores2 5520 . . . 4
3229, 30, 313syl 20 . . 3
33 funcnvres2 5659 . . . . 5
341, 33syl 16 . . . 4
3534coeq2d 5165 . . 3
3632, 35eqtr3d 2510 . 2
37 simpr2 1003 . . . 4
38 simpr3 1004 . . . 4
39 offval3 6778 . . . 4
4037, 38, 39syl2anc 661 . . 3
41 inpreima 6008 . . . . . 6
421, 41syl 16 . . . . 5
43 dmco 5515 . . . . . 6
44 dmco 5515 . . . . . 6
4543, 44ineq12i 3698 . . . . 5
4642, 45syl6reqr 2527 . . . 4
47 simplr1 1038 . . . . . 6
48 inss2 3719 . . . . . . . . 9
49 dmcoss 5262 . . . . . . . . 9
5048, 49sstri 3513 . . . . . . . 8
5150a1i 11 . . . . . . 7
5251sselda 3504 . . . . . 6
53 fvco 5943 . . . . . 6
5447, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5
55 inss1 3718 . . . . . . . . 9
56 dmcoss 5262 . . . . . . . . 9
5755, 56sstri 3513 . . . . . . . 8
5857a1i 11 . . . . . . 7
5958sselda 3504 . . . . . 6
60 fvco 5943 . . . . . 6
6147, 59, 60syl2anc 661 . . . . 5
6254, 61oveq12d 6302 . . . 4
6346, 62mpteq12dva 4524 . . 3
6440, 63eqtrd 2508 . 2
6518, 36, 643eqtr4d 2518 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cvv 3113   cin 3475   wss 3476   cmpt 4505  ccnv 4998   cdm 4999   cres 5001  cima 5002   ccom 5003   wfun 5582   wfn 5583  cfv 5588  (class class class)co 6284   cof 6522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524 This theorem is referenced by:  oftpos  18749
 Copyright terms: Public domain W3C validator