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Theorem ofco2 18354
Description: Distribution law for the function operation and the composition of functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofco2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) ) )

Proof of Theorem ofco2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  Fun  H )
2 fvimacnvi 5838 . . . 4  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
31, 2sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
4 funfn 5468 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
H  <->  H  Fn  dom  H )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  H  Fn  dom  H )
6 dffn5 5758 . . . . . 6  |-  ( H  Fn  dom  H  <->  H  =  ( x  e.  dom  H 
|->  ( H `  x
) ) )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  H  =  ( x  e.  dom  H 
|->  ( H `  x
) ) )
87reseq1d 5130 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( ( x  e.  dom  H  |->  ( H `  x ) )  |`  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) ) ) )
9 cnvimass 5210 . . . . 5  |-  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  C_  dom  H
10 resmpt 5177 . . . . 5  |-  ( ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  C_  dom  H  -> 
( ( x  e. 
dom  H  |->  ( H `
 x ) )  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( H `  x ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  dom  H  |->  ( H `  x
) )  |`  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  |->  ( H `  x ) )
128, 11syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( H `  x ) ) )
13 offval3 6592 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  oF R G )  =  ( y  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 y ) R ( G `  y
) ) ) )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  =  ( y  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  y
) R ( G `
 y ) ) ) )
15 fveq2 5712 . . . 4  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( H `  x ) ) )
16 fveq2 5712 . . . 4  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( H `  x ) ) )
1715, 16oveq12d 6130 . . 3  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  (
( F `  y
) R ( G `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( H `  x ) ) R ( G `  ( H `  x )
) ) )
183, 12, 14, 17fmptco 5897 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
19 ovex 6137 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e. 
_V
2019rgenw 2804 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e. 
_V
21 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) )
2221fnmpt 5558 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
2320, 22mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
24 offval3 6592 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  oF R G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x ) R ( G `  x
) ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) ) )
2625fneq1d 5522 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  Fn  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x ) R ( G `  x
) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  Fn  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
28 fndm 5531 . . . . 5  |-  ( ( F  oF R G )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  dom  ( F  oF R G )  =  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  dom  ( F  oF R G )  =  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
30 eqimss 3429 . . . 4  |-  ( dom  ( F  oF R G )  =  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  dom  ( F  oF
R G )  C_  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
31 cores2 5371 . . . 4  |-  ( dom  ( F  oF R G )  C_  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  H ) )
3229, 30, 313syl 20 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  H ) )
33 funcnvres2 5510 . . . . 5  |-  ( Fun 
H  ->  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  =  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )
341, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  =  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )
3534coeq2d 5023 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) ) ) )
3632, 35eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) ) )
37 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  o.  H )  e.  _V )
38 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( G  o.  H )  e.  _V )
39 offval3 6592 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i  dom  ( G  o.  H
) )  |->  ( ( ( F  o.  H
) `  x ) R ( ( G  o.  H ) `  x ) ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  |->  ( ( ( F  o.  H ) `  x
) R ( ( G  o.  H ) `
 x ) ) ) )
41 inpreima 5851 . . . . . 6  |-  ( Fun 
H  ->  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) ) )
421, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) ) )
43 dmco 5367 . . . . . 6  |-  dom  ( F  o.  H )  =  ( `' H " dom  F )
44 dmco 5367 . . . . . 6  |-  dom  ( G  o.  H )  =  ( `' H " dom  G )
4543, 44ineq12i 3571 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) )
4642, 45syl6reqr 2494 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  =  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )
47 simplr1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  Fun  H )
48 inss2 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  ( G  o.  H )
49 dmcoss 5120 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  o.  H )  C_ 
dom  H
5048, 49sstri 3386 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H )
5251sselda 3377 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  x  e.  dom  H )
53 fvco 5788 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  dom  H )  -> 
( ( F  o.  H ) `  x
)  =  ( F `
 ( H `  x ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( F  o.  H ) `  x )  =  ( F `  ( H `
 x ) ) )
55 inss1 3591 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  ( F  o.  H )
56 dmcoss 5120 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  o.  H )  C_ 
dom  H
5755, 56sstri 3386 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H )
5958sselda 3377 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  x  e.  dom  H )
60 fvco 5788 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  dom  H )  -> 
( ( G  o.  H ) `  x
)  =  ( G `
 ( H `  x ) ) )
6147, 59, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( G  o.  H ) `  x )  =  ( G `  ( H `
 x ) ) )
6254, 61oveq12d 6130 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( ( F  o.  H ) `
 x ) R ( ( G  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) )
6346, 62mpteq12dva 4390 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) )  |->  ( ( ( F  o.  H ) `  x
) R ( ( G  o.  H ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
6440, 63eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
6518, 36, 643eqtr4d 2485 1  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861    |` cres 4863   "cima 4864    o. ccom 4865   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    oFcof 6339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341
This theorem is referenced by:  oftpos  18355
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