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Theorem ofco2 18748
Description: Distribution law for the function operation and the composition of functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofco2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) ) )

Proof of Theorem ofco2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  Fun  H )
2 fvimacnvi 5995 . . . 4  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
31, 2sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
4 funfn 5617 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
H  <->  H  Fn  dom  H )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  H  Fn  dom  H )
6 dffn5 5913 . . . . . 6  |-  ( H  Fn  dom  H  <->  H  =  ( x  e.  dom  H 
|->  ( H `  x
) ) )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  H  =  ( x  e.  dom  H 
|->  ( H `  x
) ) )
87reseq1d 5272 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( ( x  e.  dom  H  |->  ( H `  x ) )  |`  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) ) ) )
9 cnvimass 5357 . . . . 5  |-  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  C_  dom  H
10 resmpt 5323 . . . . 5  |-  ( ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  C_  dom  H  -> 
( ( x  e. 
dom  H  |->  ( H `
 x ) )  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( H `  x ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  dom  H  |->  ( H `  x
) )  |`  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  |->  ( H `  x ) )
128, 11syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( H `  x ) ) )
13 offval3 6778 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  oF R G )  =  ( y  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 y ) R ( G `  y
) ) ) )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  =  ( y  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  y
) R ( G `
 y ) ) ) )
15 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( H `  x ) ) )
16 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( H `  x ) ) )
1715, 16oveq12d 6302 . . 3  |-  ( y  =  ( H `  x )  ->  (
( F `  y
) R ( G `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( H `  x ) ) R ( G `  ( H `  x )
) ) )
183, 12, 14, 17fmptco 6054 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
19 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e. 
_V
2019rgenw 2825 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e. 
_V
21 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) )
2221fnmpt 5707 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( F `  x ) R ( G `  x ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
2320, 22mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x ) R ( G `  x ) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
24 offval3 6778 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  oF R G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x ) R ( G `  x
) ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  x
) R ( G `
 x ) ) ) )
2625fneq1d 5671 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  Fn  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x ) R ( G `  x
) ) )  Fn  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  oF R G )  Fn  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
28 fndm 5680 . . . . 5  |-  ( ( F  oF R G )  Fn  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  dom  ( F  oF R G )  =  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  dom  ( F  oF R G )  =  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )
30 eqimss 3556 . . . 4  |-  ( dom  ( F  oF R G )  =  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  dom  ( F  oF
R G )  C_  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
31 cores2 5520 . . . 4  |-  ( dom  ( F  oF R G )  C_  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  H ) )
3229, 30, 313syl 20 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  H ) )
33 funcnvres2 5659 . . . . 5  |-  ( Fun 
H  ->  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  =  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )
341, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) )  =  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) )
3534coeq2d 5165 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  `' ( `' H  |`  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) )  =  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H " ( dom 
F  i^i  dom  G ) ) ) ) )
3632, 35eqtr3d 2510 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  oF R G )  o.  ( H  |`  ( `' H "
( dom  F  i^i  dom 
G ) ) ) ) )
37 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( F  o.  H )  e.  _V )
38 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( G  o.  H )  e.  _V )
39 offval3 6778 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i  dom  ( G  o.  H
) )  |->  ( ( ( F  o.  H
) `  x ) R ( ( G  o.  H ) `  x ) ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  |->  ( ( ( F  o.  H ) `  x
) R ( ( G  o.  H ) `
 x ) ) ) )
41 inpreima 6008 . . . . . 6  |-  ( Fun 
H  ->  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) ) )
421, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom  G ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) ) )
43 dmco 5515 . . . . . 6  |-  dom  ( F  o.  H )  =  ( `' H " dom  F )
44 dmco 5515 . . . . . 6  |-  dom  ( G  o.  H )  =  ( `' H " dom  G )
4543, 44ineq12i 3698 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  =  ( ( `' H " dom  F
)  i^i  ( `' H " dom  G ) )
4642, 45syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) )  =  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )
47 simplr1 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  Fun  H )
48 inss2 3719 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  ( G  o.  H )
49 dmcoss 5262 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  o.  H )  C_ 
dom  H
5048, 49sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H )
5251sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  x  e.  dom  H )
53 fvco 5943 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  dom  H )  -> 
( ( F  o.  H ) `  x
)  =  ( F `
 ( H `  x ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( F  o.  H ) `  x )  =  ( F `  ( H `
 x ) ) )
55 inss1 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  ( F  o.  H )
56 dmcoss 5262 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  o.  H )  C_ 
dom  H
5755, 56sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( dom  ( F  o.  H
)  i^i  dom  ( G  o.  H ) ) 
C_  dom  H )
5958sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  x  e.  dom  H )
60 fvco 5943 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  x  e.  dom  H )  -> 
( ( G  o.  H ) `  x
)  =  ( G `
 ( H `  x ) ) )
6147, 59, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( G  o.  H ) `  x )  =  ( G `  ( H `
 x ) ) )
6254, 61oveq12d 6302 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  e. 
_V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H )  e. 
_V  /\  ( G  o.  H )  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) ) )  ->  ( ( ( F  o.  H ) `
 x ) R ( ( G  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) )
6346, 62mpteq12dva 4524 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( x  e.  ( dom  ( F  o.  H )  i^i 
dom  ( G  o.  H ) )  |->  ( ( ( F  o.  H ) `  x
) R ( ( G  o.  H ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
6440, 63eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) )  =  ( x  e.  ( `' H " ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  |->  ( ( F `  ( H `  x )
) R ( G `
 ( H `  x ) ) ) ) )
6518, 36, 643eqtr4d 2518 1  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  ( Fun  H  /\  ( F  o.  H
)  e.  _V  /\  ( G  o.  H
)  e.  _V )
)  ->  ( ( F  oF R G )  o.  H )  =  ( ( F  o.  H )  oF R ( G  o.  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524
This theorem is referenced by:  oftpos  18749
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