Theorem ofaddmndmap 30883

Description: The function operation applied to the addition for functions (with the same domain) into a monoid is a function (with the same domain) into the monoid. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofaddmndmap.r	|- R = ( Base ` M )
ofaddmndmap.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
ofaddmndmap	|- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) )

Proof of Theorem ofaddmndmap

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 991	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> M e. Mnd )
2		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. R )
3		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. R )
4		ofaddmndmap.r	. . . . 5 |- R = ( Base ` M )
5		ofaddmndmap.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` M )
6	4, 5	mndcl 15540	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. R /\ y e. R ) -> ( x .+ y ) e. R )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( x .+ y ) e. R )
8		elmapi 7345	. . . . 5 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
9	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A : V --> R )
10	9	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A : V --> R )
11		elmapi 7345	. . . . 5 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
12	11	adantl 466	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B : V --> R )
13	12	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B : V --> R )
14		simp2 989	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. Y )
15		inidm 3668	. . 3 |- ( V i^i V ) = V
16	7, 10, 13, 14, 14, 15	off 6445	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+ B ) : V --> R )
17		fvex 5810	. . . 4 |- ( Base ` M ) e. _V
18	4, 17	eqeltri 2538	. . 3 |- R e. _V
19		elmapg 7338	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ V e. Y ) -> ( ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) <-> ( A oF .+ B ) : V --> R ) )
20	18, 14, 19	sylancr 663	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) <-> ( A oF .+ B ) : V --> R ) )
21	16, 20	mpbird 232	1 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   oFcof 6429   ^m cmap 7325   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   Mndcmnd 15529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-map 7327  df-mnd 15535

This theorem is referenced by:  lincsumcl  31098