Theorem ofaddmndmap 33172

Description: The function operation applied to the addition for functions (with the same domain) into a monoid is a function (with the same domain) into the monoid. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofaddmndmap.r	|- R = ( Base ` M )
ofaddmndmap.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
ofaddmndmap	|- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) )

Proof of Theorem ofaddmndmap

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 997	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> M e. Mnd )
2		simprl 754	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. R )
3		simprr 755	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. R )
4		ofaddmndmap.r	. . . . 5 |- R = ( Base ` M )
5		ofaddmndmap.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` M )
6	4, 5	mndcl 16069	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. R /\ y e. R ) -> ( x .+ y ) e. R )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( x .+ y ) e. R )
8		elmapi 7381	. . . . 5 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
9	8	adantr 463	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A : V --> R )
10	9	3ad2ant3 1017	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A : V --> R )
11		elmapi 7381	. . . . 5 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
12	11	adantl 464	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B : V --> R )
13	12	3ad2ant3 1017	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B : V --> R )
14		simp2 995	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. Y )
15		inidm 3638	. . 3 |- ( V i^i V ) = V
16	7, 10, 13, 14, 14, 15	off 6475	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+ B ) : V --> R )
17		fvex 5801	. . . 4 |- ( Base ` M ) e. _V
18	4, 17	eqeltri 2480	. . 3 |- R e. _V
19		elmapg 7373	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ V e. Y ) -> ( ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) <-> ( A oF .+ B ) : V --> R ) )
20	18, 14, 19	sylancr 661	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) <-> ( A oF .+ B ) : V --> R ) )
21	16, 20	mpbird 232	1 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. Y /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+ B ) e. ( R ^m V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1836   _Vcvv 3051   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   oFcof 6459   ^m cmap 7360   Basecbs 14657   +g cplusg 14725   Mndcmnd 16059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-map 7362  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061

This theorem is referenced by:  lincsumcl  33271