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Theorem oewordri 7290
Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oewordri  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )

Proof of Theorem oewordri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
2 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3460 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x ) 
C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) ) )
4 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  y
) )
64, 5sseq12d 3460 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y ) ) )
7 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
8 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  ^o  x
)  =  ( B  ^o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3460 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y
) ) )
10 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  C
) )
11 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  C
) )
1210, 11sseq12d 3460 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  C )  C_  ( B  ^o  C ) ) )
13 onelon 5447 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
14 oe0 7221 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
16 oe0 7221 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  ^o  (/) )  =  1o )
1716adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( B  ^o  (/) )  =  1o )
1815, 17eqtr4d 2487 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  =  ( B  ^o  (/) ) )
19 eqimss 3483 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  ( B  ^o  (/) )  -> 
( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) )
2018, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) )
21 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
22 onelss 5464 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
2322imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
2413, 21, 23jca31 537 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B ) )
25 oecl 7236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
26253adant2 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
27 oecl 7236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  y
)  e.  On )
28273adant1 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  y )  e.  On )
29 simp1 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
30 omwordri 7270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  ( B  ^o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( ( A  ^o  y )  .o  A
)  C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) ) )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) ) )
3231imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  y )  .o  A
)  C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) )
3332adantrl 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) )
34 omwordi 7269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( B  ^o  y )  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) ) )
3528, 34syld3an3 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) ) )
3635imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( B  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
3736adantrr 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( B  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
3833, 37sstrd 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
39 oesuc 7226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
40393adant2 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) )
4140adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
42 oesuc 7226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y
)  .o  B ) )
43423adant1 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) )
4443adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y
)  .o  B ) )
4538, 41, 443sstr4d 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y ) )
4645exp520 1229 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) ) ) )
4746com3r 82 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) ) ) )
4847imp4c 595 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) )
4924, 48syl5 33 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y
)  ->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y
) ) ) )
5013ancri 555 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) ) )
51 vex 3047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
52 limelon 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5351, 52mpan 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
54 0ellim 5484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
55 oe0m1 7220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
5655biimpa 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  (/) 
e.  x )  -> 
( (/)  ^o  x )  =  (/) )
5753, 54, 56syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
58 0ss 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  ( B  ^o  x )
5957, 58syl6eqss 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) )
60 oveq1 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
6160sseq1d 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x ) 
C_  ( B  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6259, 61syl5ibr 225 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6362adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6463a1dd 47 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
65 ss2iun 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
66 oelim 7233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
6751, 66mpanlr1 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
6867an32s 812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
6968adantllr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
7021anim1i 571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  ( B  e.  On  /\  Lim  x
) )
71 ne0i 3736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
72 on0eln0 5477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
7371, 72syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
7473imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  -> 
(/)  e.  B )
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  (/)  e.  B )
76 oelim 7233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7751, 76mpanlr1 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( B  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7870, 75, 77syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7978adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
8079adantlll 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  ^o  y
) )
8169, 80sseq12d 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) ) )
8265, 81syl5ibr 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x
) ) )
8382ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8464, 83oe0lem 7212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8584com12 32 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8650, 85syl5 33 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x
) ) ) )
873, 6, 9, 12, 20, 49, 86tfinds3 6688 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  C )  C_  ( B  ^o  C ) ) )
8887expd 438 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) ) )
8988impcom 432 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U_ciun 4277   Oncon0 5422   Lim wlim 5423   suc csuc 5424  (class class class)co 6288   1oc1o 7172    .o comu 7177    ^o coe 7178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-oexp 7185
This theorem is referenced by:  oeordsuc  7292
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