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Theorem oeworde 7232
Description: Ordinal exponentiation compared to its exponent. Proposition 8.37 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeworde  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oeworde
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
2 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3526 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  ( A  ^o  x )  <->  (/)  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
4 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
5 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
64, 5sseq12d 3526 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  y  C_  ( A  ^o  y
) ) )
7 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
8 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3526 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  ( A  ^o  x )  <->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
10 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
11 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
1210, 11sseq12d 3526 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  B  C_  ( A  ^o  B ) ) )
13 0ss 3807 . . . 4  |-  (/)  C_  ( A  ^o  (/) )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  C_  ( A  ^o  (/) ) )
15 eloni 4881 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  y )
17 eldifi 3619 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
18 oecl 7177 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1917, 18sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
20 eloni 4881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  y
) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  ^o  y ) )
22 ordsucsssuc 6629 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( A  ^o  y
) )  ->  (
y  C_  ( A  ^o  y )  <->  suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
) ) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( y  C_  ( A  ^o  y )  <->  suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
) ) )
24 suceloni 6619 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
25 oecl 7177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  On )
2617, 24, 25syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  On )
27 eloni 4881 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  suc  y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  ^o  suc  y ) )
29 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
30 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3130sucid 4950 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
32 oeordi 7226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  On  /\  A  e.  ( On 
\  2o ) )  ->  ( y  e. 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
3331, 32mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  On  /\  A  e.  ( On 
\  2o ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  suc  y
) )
3424, 29, 33syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  suc  y ) )
35 ordsucss 6624 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( A  ^o  suc  y )  ->  (
( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  suc  y )  ->  suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
3628, 34, 35sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )
37 sstr2 3504 . . . . . 6  |-  ( suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y )  -> 
( suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
3836, 37syl5com 30 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
)  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
3923, 38sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( y  C_  ( A  ^o  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
4039expcom 435 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (
y  C_  ( A  ^o  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
41 dif20el 7145 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
4217, 41jca 532 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
43 ss2iun 4334 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  U_ y  e.  x  y  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
44 limuni 4931 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U. x )
45 uniiun 4371 . . . . . . . . 9  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
4644, 45syl6eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U_ y  e.  x  y )
4746adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  x  =  U_ y  e.  x  y )
48 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
49 oelim 7174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
5048, 49mpanlr1 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
5150anasss 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
5251an12s 799 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
5347, 52sseq12d 3526 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  U_ y  e.  x  y  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) ) )
5443, 53syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y )  ->  x  C_  ( A  ^o  x
) ) )
5554ex 434 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  x  C_  ( A  ^o  x ) ) ) )
5642, 55syl5 32 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  x  C_  ( A  ^o  x ) ) ) )
573, 6, 9, 12, 14, 40, 56tfinds3 6670 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  B  C_  ( A  ^o  B
) ) )
5857impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   U_ciun 4318   Ord word 4870   Oncon0 4871   Lim wlim 4872   suc csuc 4873  (class class class)co 6275   2oc2o 7114    ^o coe 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-oexp 7126
This theorem is referenced by:  oeeulem  7240  cnfcom3clem  8138  cnfcom3clemOLD  8146
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