Theorem oevn0 5199

Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero mantissa.

Assertion

Ref	Expression
oevn0	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem oevn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 3718	. . . . 5 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
2		df-ne 2019	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
3	1, 2	syl6bb 595	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
4	3	adantr 425	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
5		oev 5198	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o B) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
6		iffalse 2991	. . . . 5 |- (-. A = (/) -> if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
7	5, 6	sylan9eq 1948	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ -. A = (/)) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
8	7	ex 402	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. A = (/) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
9	4, 8	sylbid 220	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
10	9	imp 377	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   \ cdif 2590  (/)c0 2875  ifcif 2982  {copab 3395  Oncon0 3657  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  1oc1o 5172   .o comu 5175   ^o coe 5176

This theorem is referenced by:  oe0 5206  oev2 5207  oesuc 5211  oelim 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oexp 5181

Copyright terms: Public domain