Theorem oesuclem 6957

Description: Lemma for oesuc 6959. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oesuclem.1	|- Lim X
oesuclem.2	|- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
oesuclem	|- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem oesuclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6093	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A ^o suc B ) = ( (/) ^o suc B ) )
2		oesuclem.1	. . . . . . . 8 |- Lim X
3		limord 4773	. . . . . . . 8 |- ( Lim X -> Ord X )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Ord X
5		ordelord 4736	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> Ord B )
6	4, 5	mpan 670	. . . . . 6 |- ( B e. X -> Ord B )
7		0elsuc 6441	. . . . . 6 |- ( Ord B -> (/) e. suc B )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( B e. X -> (/) e. suc B )
9		limsuc 6455	. . . . . . 7 |- ( Lim X -> ( B e. X <-> suc B e. X ) )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( B e. X <-> suc B e. X )
11		ordelon 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord X /\ suc B e. X ) -> suc B e. On )
12	4, 11	mpan 670	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> suc B e. On )
13		oe0m1 6953	. . . . . . 7 |- ( suc B e. On -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
15	10, 14	sylbi 195	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
16	8, 15	mpbid 210	. . . 4 |- ( B e. X -> ( (/) ^o suc B ) = (/) )
17	1, 16	sylan9eqr 2492	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = (/) )
18		oveq1 6093	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
19		id 22	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A = (/) )
20	18, 19	oveq12d 6104	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
21		ordelon 4738	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B e. On )
22	4, 21	mpan 670	. . . . . 6 |- ( B e. X -> B e. On )
23		oveq2 6094	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
24		oe0m0 6952	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
25		1on 6919	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
26	24, 25	eqeltri 2508	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
27	23, 26	syl6eqel 2526	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) e. On )
28	27	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ B = (/) ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
29		oe0m1 6953	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
30	22, 29	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. X -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
31	30	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
32		0elon 4767	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
33	31, 32	syl6eqel 2526	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
34	33	adantll 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
35	28, 34	oe0lem 6945	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ B e. X ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
36	22, 35	mpancom 669	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) ^o B ) e. On )
37		om0 6949	. . . . 5 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
38	36, 37	syl 16	. . . 4 |- ( B e. X -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
39	20, 38	sylan9eqr 2492	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = (/) )
40	17, 39	eqtr4d 2473	. 2 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
41		oesuclem.2	. . . 4 |- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
42	41	ad2antlr 726	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
43	10, 12	sylbi 195	. . . 4 |- ( B e. X -> suc B e. On )
44		oevn0 6947	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
45	43, 44	sylanl2 651	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
46		ovex 6111	. . . . 5 |- ( A ^o B ) e. _V
47		oveq1 6093	. . . . . 6 |- ( x = ( A ^o B ) -> ( x .o A ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
48		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
49		ovex 6111	. . . . . 6 |- ( ( A ^o B ) .o A ) e. _V
50	47, 48, 49	fvmpt 5769	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
51	46, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A )
52		oevn0 6947	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
53	22, 52	sylanl2 651	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
54	53	fveq2d 5690	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
55	51, 54	syl5eqr 2484	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
56	42, 45, 55	3eqtr4d 2480	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
57	40, 56	oe0lem 6945	1 |- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   e. cmpt 4345   Ord word 4713   Oncon0 4714   Lim wlim 4715   suc csuc 4716   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   reccrdg 6857   1oc1o 6905   .o comu 6910   ^o coe 6911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-omul 6917  df-oexp 6918

This theorem is referenced by:  oesuc  6959  onesuc  6962