Theorem oesuclem 6953

Description: Lemma for oesuc 6955. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oesuclem.1	|- Lim X
oesuclem.2	|- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
oesuclem	|- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem oesuclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6087	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A ^o suc B ) = ( (/) ^o suc B ) )
2		oesuclem.1	. . . . . . . 8 |- Lim X
3		limord 4765	. . . . . . . 8 |- ( Lim X -> Ord X )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Ord X
5		ordelord 4728	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> Ord B )
6	4, 5	mpan 663	. . . . . 6 |- ( B e. X -> Ord B )
7		0elsuc 6435	. . . . . 6 |- ( Ord B -> (/) e. suc B )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( B e. X -> (/) e. suc B )
9		limsuc 6449	. . . . . . 7 |- ( Lim X -> ( B e. X <-> suc B e. X ) )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( B e. X <-> suc B e. X )
11		ordelon 4730	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord X /\ suc B e. X ) -> suc B e. On )
12	4, 11	mpan 663	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> suc B e. On )
13		oe0m1 6949	. . . . . . 7 |- ( suc B e. On -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
15	10, 14	sylbi 195	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
16	8, 15	mpbid 210	. . . 4 |- ( B e. X -> ( (/) ^o suc B ) = (/) )
17	1, 16	sylan9eqr 2487	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = (/) )
18		oveq1 6087	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
19		id 22	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A = (/) )
20	18, 19	oveq12d 6098	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
21		ordelon 4730	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B e. On )
22	4, 21	mpan 663	. . . . . 6 |- ( B e. X -> B e. On )
23		oveq2 6088	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
24		oe0m0 6948	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
25		1on 6915	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
26	24, 25	eqeltri 2503	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
27	23, 26	syl6eqel 2521	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) e. On )
28	27	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ B = (/) ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
29		oe0m1 6949	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
30	22, 29	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. X -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
31	30	biimpa 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
32		0elon 4759	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
33	31, 32	syl6eqel 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
34	33	adantll 706	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
35	28, 34	oe0lem 6941	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ B e. X ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
36	22, 35	mpancom 662	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) ^o B ) e. On )
37		om0 6945	. . . . 5 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
38	36, 37	syl 16	. . . 4 |- ( B e. X -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
39	20, 38	sylan9eqr 2487	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = (/) )
40	17, 39	eqtr4d 2468	. 2 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
41		oesuclem.2	. . . 4 |- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
42	41	ad2antlr 719	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
43	10, 12	sylbi 195	. . . 4 |- ( B e. X -> suc B e. On )
44		oevn0 6943	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
45	43, 44	sylanl2 644	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
46		ovex 6105	. . . . 5 |- ( A ^o B ) e. _V
47		oveq1 6087	. . . . . 6 |- ( x = ( A ^o B ) -> ( x .o A ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
48		eqid 2433	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
49		ovex 6105	. . . . . 6 |- ( ( A ^o B ) .o A ) e. _V
50	47, 48, 49	fvmpt 5762	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
51	46, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A )
52		oevn0 6943	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
53	22, 52	sylanl2 644	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
54	53	fveq2d 5683	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
55	51, 54	syl5eqr 2479	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
56	42, 45, 55	3eqtr4d 2475	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
57	40, 56	oe0lem 6941	1 |- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   _Vcvv 2962   (/)c0 3625   e. cmpt 4338   Ord word 4705   Oncon0 4706   Lim wlim 4707   suc csuc 4708   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   reccrdg 6851   1oc1o 6901   .o comu 6906   ^o coe 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-omul 6913  df-oexp 6914

This theorem is referenced by:  oesuc  6955  onesuc  6958