Theorem oesuclem 6728

Description: Lemma for oesuc 6730. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oesuclem.1	|- Lim X
oesuclem.2	|- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
oesuclem	|- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem oesuclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6047	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A ^o suc B ) = ( (/) ^o suc B ) )
2		oesuclem.1	. . . . . . . 8 |- Lim X
3		limord 4600	. . . . . . . 8 |- ( Lim X -> Ord X )
4	2, 3	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- Ord X
5		ordelord 4563	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> Ord B )
6	4, 5	mpan 652	. . . . . 6 |- ( B e. X -> Ord B )
7		0elsuc 4774	. . . . . 6 |- ( Ord B -> (/) e. suc B )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( B e. X -> (/) e. suc B )
9		limsuc 4788	. . . . . . 7 |- ( Lim X -> ( B e. X <-> suc B e. X ) )
10	2, 9	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( B e. X <-> suc B e. X )
11		ordelon 4565	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord X /\ suc B e. X ) -> suc B e. On )
12	4, 11	mpan 652	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> suc B e. On )
13		oe0m1 6724	. . . . . . 7 |- ( suc B e. On -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
15	10, 14	sylbi 188	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
16	8, 15	mpbid 202	. . . 4 |- ( B e. X -> ( (/) ^o suc B ) = (/) )
17	1, 16	sylan9eqr 2458	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = (/) )
18		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
19		id 20	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A = (/) )
20	18, 19	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
21		ordelon 4565	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B e. On )
22	4, 21	mpan 652	. . . . . 6 |- ( B e. X -> B e. On )
23		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
24		oe0m0 6723	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
25		1on 6690	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
26	24, 25	eqeltri 2474	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
27	23, 26	syl6eqel 2492	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) e. On )
28	27	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ B = (/) ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
29		oe0m1 6724	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
30	22, 29	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. X -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
31	30	biimpa 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
32		0elon 4594	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
33	31, 32	syl6eqel 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
34	33	adantll 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
35	28, 34	oe0lem 6716	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ B e. X ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
36	22, 35	mpancom 651	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) ^o B ) e. On )
37		om0 6720	. . . . 5 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
38	36, 37	syl 16	. . . 4 |- ( B e. X -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
39	20, 38	sylan9eqr 2458	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = (/) )
40	17, 39	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
41		oesuclem.2	. . . 4 |- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
42	41	ad2antlr 708	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
43	10, 12	sylbi 188	. . . 4 |- ( B e. X -> suc B e. On )
44		oevn0 6718	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
45	43, 44	sylanl2 633	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
46		ovex 6065	. . . . 5 |- ( A ^o B ) e. _V
47		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( x = ( A ^o B ) -> ( x .o A ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
48		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
49		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( ( A ^o B ) .o A ) e. _V
50	47, 48, 49	fvmpt 5765	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
51	46, 50	ax-mp 8	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A )
52		oevn0 6718	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
53	22, 52	sylanl2 633	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
54	53	fveq2d 5691	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
55	51, 54	syl5eqr 2450	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
56	42, 45, 55	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
57	40, 56	oe0lem 6716	1 |- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   e. cmpt 4226   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   1oc1o 6676   .o comu 6681   ^o coe 6682

This theorem is referenced by:  oesuc  6730  onesuc  6733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-omul 6688  df-oexp 6689