Theorem oesuclem 7167

Description: Lemma for oesuc 7169. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oesuclem.1	|- Lim X
oesuclem.2	|- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
oesuclem	|- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem oesuclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6277	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A ^o suc B ) = ( (/) ^o suc B ) )
2		oesuclem.1	. . . . . . . 8 |- Lim X
3		limord 4926	. . . . . . . 8 |- ( Lim X -> Ord X )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Ord X
5		ordelord 4889	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> Ord B )
6	4, 5	mpan 668	. . . . . 6 |- ( B e. X -> Ord B )
7		0elsuc 6643	. . . . . 6 |- ( Ord B -> (/) e. suc B )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( B e. X -> (/) e. suc B )
9		limsuc 6657	. . . . . . 7 |- ( Lim X -> ( B e. X <-> suc B e. X ) )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( B e. X <-> suc B e. X )
11		ordelon 4891	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord X /\ suc B e. X ) -> suc B e. On )
12	4, 11	mpan 668	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> suc B e. On )
13		oe0m1 7163	. . . . . . 7 |- ( suc B e. On -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
15	10, 14	sylbi 195	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
16	8, 15	mpbid 210	. . . 4 |- ( B e. X -> ( (/) ^o suc B ) = (/) )
17	1, 16	sylan9eqr 2517	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = (/) )
18		oveq1 6277	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
19		id 22	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A = (/) )
20	18, 19	oveq12d 6288	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
21		ordelon 4891	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B e. On )
22	4, 21	mpan 668	. . . . . 6 |- ( B e. X -> B e. On )
23		oveq2 6278	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
24		oe0m0 7162	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
25		1on 7129	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
26	24, 25	eqeltri 2538	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
27	23, 26	syl6eqel 2550	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) e. On )
28	27	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ B = (/) ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
29		oe0m1 7163	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
30	22, 29	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. X -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
32		0elon 4920	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
33	31, 32	syl6eqel 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
34	33	adantll 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
35	28, 34	oe0lem 7155	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ B e. X ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
36	22, 35	mpancom 667	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) ^o B ) e. On )
37		om0 7159	. . . . 5 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
38	36, 37	syl 16	. . . 4 |- ( B e. X -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
39	20, 38	sylan9eqr 2517	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = (/) )
40	17, 39	eqtr4d 2498	. 2 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
41		oesuclem.2	. . . 4 |- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
42	41	ad2antlr 724	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
43	10, 12	sylbi 195	. . . 4 |- ( B e. X -> suc B e. On )
44		oevn0 7157	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
45	43, 44	sylanl2 649	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
46		ovex 6298	. . . . 5 |- ( A ^o B ) e. _V
47		oveq1 6277	. . . . . 6 |- ( x = ( A ^o B ) -> ( x .o A ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
48		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
49		ovex 6298	. . . . . 6 |- ( ( A ^o B ) .o A ) e. _V
50	47, 48, 49	fvmpt 5931	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
51	46, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A )
52		oevn0 7157	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
53	22, 52	sylanl2 649	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
54	53	fveq2d 5852	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
55	51, 54	syl5eqr 2509	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
56	42, 45, 55	3eqtr4d 2505	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
57	40, 56	oe0lem 7155	1 |- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   |-> cmpt 4497   Ord word 4866   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   reccrdg 7067   1oc1o 7115   .o comu 7120   ^o coe 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-omul 7127  df-oexp 7128

This theorem is referenced by:  oesuc  7169  onesuc  7172