Theorem oesuclem 7182

Description: Lemma for oesuc 7184. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oesuclem.1	|- Lim X
oesuclem.2	|- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
oesuclem	|- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem oesuclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6256	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A ^o suc B ) = ( (/) ^o suc B ) )
2		oesuclem.1	. . . . . . . 8 |- Lim X
3		limord 5444	. . . . . . . 8 |- ( Lim X -> Ord X )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Ord X
5		ordelord 5407	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> Ord B )
6	4, 5	mpan 674	. . . . . 6 |- ( B e. X -> Ord B )
7		0elsuc 6620	. . . . . 6 |- ( Ord B -> (/) e. suc B )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( B e. X -> (/) e. suc B )
9		limsuc 6634	. . . . . . 7 |- ( Lim X -> ( B e. X <-> suc B e. X ) )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( B e. X <-> suc B e. X )
11		ordelon 5409	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord X /\ suc B e. X ) -> suc B e. On )
12	4, 11	mpan 674	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> suc B e. On )
13		oe0m1 7178	. . . . . . 7 |- ( suc B e. On -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
15	10, 14	sylbi 198	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) e. suc B <-> ( (/) ^o suc B ) = (/) ) )
16	8, 15	mpbid 213	. . . 4 |- ( B e. X -> ( (/) ^o suc B ) = (/) )
17	1, 16	sylan9eqr 2484	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = (/) )
18		oveq1 6256	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
19		id 22	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A = (/) )
20	18, 19	oveq12d 6267	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
21		ordelon 5409	. . . . . . 7 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B e. On )
22	4, 21	mpan 674	. . . . . 6 |- ( B e. X -> B e. On )
23		oveq2 6257	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
24		oe0m0 7177	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
25		1on 7144	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
26	24, 25	eqeltri 2502	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
27	23, 26	syl6eqel 2514	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) e. On )
28	27	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ B = (/) ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
29		oe0m1 7178	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
30	22, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. X -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
31	30	biimpa 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
32		0elon 5438	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
33	31, 32	syl6eqel 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
34	33	adantll 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
35	28, 34	oe0lem 7170	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ B e. X ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
36	22, 35	mpancom 673	. . . . 5 |- ( B e. X -> ( (/) ^o B ) e. On )
37		om0 7174	. . . . 5 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
38	36, 37	syl 17	. . . 4 |- ( B e. X -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
39	20, 38	sylan9eqr 2484	. . 3 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = (/) )
40	17, 39	eqtr4d 2465	. 2 |- ( ( B e. X /\ A = (/) ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
41		oesuclem.2	. . . 4 |- ( B e. X -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
42	41	ad2antlr 731	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
43	10, 12	sylbi 198	. . . 4 |- ( B e. X -> suc B e. On )
44		oevn0 7172	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
45	43, 44	sylanl2 655	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` suc B ) )
46		ovex 6277	. . . . 5 |- ( A ^o B ) e. _V
47		oveq1 6256	. . . . . 6 |- ( x = ( A ^o B ) -> ( x .o A ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
48		eqid 2428	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
49		ovex 6277	. . . . . 6 |- ( ( A ^o B ) .o A ) e. _V
50	47, 48, 49	fvmpt 5908	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
51	46, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o B ) .o A )
52		oevn0 7172	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
53	22, 52	sylanl2 655	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
54	53	fveq2d 5829	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( A ^o B ) ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
55	51, 54	syl5eqr 2476	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) .o A ) = ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) ) )
56	42, 45, 55	3eqtr4d 2472	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. X ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )
57	40, 56	oe0lem 7170	1 |- ( ( A e. On /\ B e. X ) -> ( A ^o suc B ) = ( ( A ^o B ) .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   _Vcvv 3022   (/)c0 3704   |-> cmpt 4425   Ord word 5384   Oncon0 5385   Lim wlim 5386   suc csuc 5387   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   reccrdg 7082   1oc1o 7130   .o comu 7135   ^o coe 7136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-omul 7142  df-oexp 7143

This theorem is referenced by:  oesuc  7184  onesuc  7187