MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oesuc Structured version   Unicode version

Theorem oesuc 7178
Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oesuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )

Proof of Theorem oesuc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limon 6656 . 2  |-  Lim  On
2 rdgsuc 7091 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  suc  B )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) `  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
) ) )
31, 2oesuclem 7176 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   suc csuc 4880  (class class class)co 6285   1oc1o 7124    .o comu 7129    ^o coe 7130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-omul 7136  df-oexp 7137
This theorem is referenced by:  oecl  7188  oe1m  7195  oen0  7236  oeordi  7237  oewordri  7242  oeordsuc  7244  oeoalem  7246  oeoelem  7248  oeeui  7252  oaabs2  7295  omabs  7297  cantnflt  8092  cantnfltOLD  8122  cnfcom  8145  cnfcomOLD  8153  infxpenc2  8400  infxpenc2OLD  8404
  Copyright terms: Public domain W3C validator