Theorem oesuc 4224

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oesuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Proof of Theorem oesuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4026	. . . 4 |- (A = (/) -> (A ^o suc B) = ((/) ^o suc B))
2		oe0m1 4218	. . . . . 6 |- (suc B e. On -> ((/) e. suc B <-> ((/) ^o suc B) = (/)))
3	2	biimpa 425	. . . . 5 |- ((suc B e. On /\ (/) e. suc B) -> ((/) ^o suc B) = (/))
4		suceloni 3119	. . . . 5 |- (B e. On -> suc B e. On)
5		eloni 3015	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
6		0elsuc 3149	. . . . . 6 |- (Ord B -> (/) e. suc B)
7	5, 6	syl 10	. . . . 5 |- (B e. On -> (/) e. suc B)
8	3, 4, 7	sylanc 482	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) ^o suc B) = (/))
9	1, 8	sylan9eqr 1576	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = (/))
10		opreq1 4026	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o B) = ((/) ^o B))
11		id 59	. . . . 5 |- (A = (/) -> A = (/))
12	10, 11	opreq12d 4036	. . . 4 |- (A = (/) -> ((A ^o B) .o A) = (((/) ^o B) .o (/)))
13		opreq2 4027	. . . . . . . . 9 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) = ((/) ^o (/)))
14		oe0m0 4217	. . . . . . . . . 10 |- ((/) ^o (/)) = 1o
15		1on 4196	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
16	14, 15	eqeltri 1591	. . . . . . . . 9 |- ((/) ^o (/)) e. On
17	13, 16	syl6eqel 1603	. . . . . . . 8 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) e. On)
18	17	adantl 397	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ B = (/)) -> ((/) ^o B) e. On)
19		oe0m1 4218	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> ((/) ^o B) = (/)))
20	19	biimpa 425	. . . . . . . . 9 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) = (/))
21		0elon 3079	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
22	20, 21	syl6eqel 1603	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
23	22	adantll 401	. . . . . . 7 |- (((B e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
24	18, 23	oe0lem 4210	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ B e. On) -> ((/) ^o B) e. On)
25	24	anidms 444	. . . . 5 |- (B e. On -> ((/) ^o B) e. On)
26		om0 4214	. . . . 5 |- (((/) ^o B) e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
27	25, 26	syl 10	. . . 4 |- (B e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
28	12, 27	sylan9eqr 1576	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> ((A ^o B) .o A) = (/))
29	9, 28	eqtr4d 1557	. 2 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
30		rdgsuc 4003	. . . 4 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
31	30	ad2antlr 414	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
32		oevn0 4212	. . . 4 |- (((A e. On /\ suc B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
33	32, 4	sylanl2 472	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
34		oevn0 4212	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
35	34	fveq2d 3785	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
36		oprex 4041	. . . . 5 |- (A ^o B) e. V
37		oprex 4041	. . . . 5 |- ((A ^o B) .o A) e. V
38		opreq1 4026	. . . . 5 |- (x = (A ^o B) -> (x .o A) = ((A ^o B) .o A))
39	36, 37, 38	fvopab 3847	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ((A ^o B) .o A)
40	35, 39	syl5eqr 1568	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ((A ^o B) .o A) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
41	31, 33, 40	3eqtr4d 1564	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
42	29, 41	oe0lem 4210	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  (/)c0 2331  {copab 2721  Ord word 3004  Oncon0 3005  suc csuc 3007  ` cfv 3239  reccrdg 3989  (class class class)co 4021  1oc1o 4186   .o comu 4189   ^o coe 4190

This theorem is referenced by:  oecl 4230  oe1 4236  oe1m 4237  oen0 4271  oeordi 4272  oewordri 4277  oeordsuc 4279  nnecl 4289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1o 4191  df-omul 4194  df-oexp 4195

Copyright terms: Public domain