Theorem oesuc 5211

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oesuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Proof of Theorem oesuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . 4 |- (A = (/) -> (A ^o suc B) = ((/) ^o suc B))
2		suceloni 3894	. . . . 5 |- (B e. On -> suc B e. On)
3		eloni 3667	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
4		0elsuc 3916	. . . . . 6 |- (Ord B -> (/) e. suc B)
5	3, 4	syl 12	. . . . 5 |- (B e. On -> (/) e. suc B)
6		oe0m1 5205	. . . . . 6 |- (suc B e. On -> ((/) e. suc B <-> ((/) ^o suc B) = (/)))
7	6	biimpa 460	. . . . 5 |- ((suc B e. On /\ (/) e. suc B) -> ((/) ^o suc B) = (/))
8	2, 5, 7	syl11anc 524	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) ^o suc B) = (/))
9	1, 8	sylan9eqr 1951	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = (/))
10		opreq1 4889	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o B) = ((/) ^o B))
11		id 73	. . . . 5 |- (A = (/) -> A = (/))
12	10, 11	opreq12d 4900	. . . 4 |- (A = (/) -> ((A ^o B) .o A) = (((/) ^o B) .o (/)))
13		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) = ((/) ^o (/)))
14		oe0m0 5204	. . . . . . . . . 10 |- ((/) ^o (/)) = 1o
15		1on 5182	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
16	14, 15	eqeltri 1967	. . . . . . . . 9 |- ((/) ^o (/)) e. On
17	13, 16	syl6eqel 1979	. . . . . . . 8 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) e. On)
18	17	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ B = (/)) -> ((/) ^o B) e. On)
19		oe0m1 5205	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> ((/) ^o B) = (/)))
20	19	biimpa 460	. . . . . . . . 9 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) = (/))
21		0elon 3716	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
22	20, 21	syl6eqel 1979	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
23	22	adantll 428	. . . . . . 7 |- (((B e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
24	18, 23	oe0lem 5197	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ B e. On) -> ((/) ^o B) e. On)
25	24	anidms 480	. . . . 5 |- (B e. On -> ((/) ^o B) e. On)
26		om0 5201	. . . . 5 |- (((/) ^o B) e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
27	25, 26	syl 12	. . . 4 |- (B e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
28	12, 27	sylan9eqr 1951	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> ((A ^o B) .o A) = (/))
29	9, 28	eqtr4d 1928	. 2 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
30		rdgsuc 5153	. . . 4 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
31	30	ad2antlr 441	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
32		oevn0 5199	. . . 4 |- (((A e. On /\ suc B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
33	32, 2	sylanl2 510	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
34		oevn0 5199	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
35	34	fveq2d 4685	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
36		oprex 4907	. . . . 5 |- (A ^o B) e. _V
37		oprex 4907	. . . . 5 |- ((A ^o B) .o A) e. _V
38		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = (A ^o B) -> (x .o A) = ((A ^o B) .o A))
39	36, 37, 38	fvopab 4753	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ((A ^o B) .o A)
40	35, 39	syl5eqr 1942	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ((A ^o B) .o A) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
41	31, 33, 40	3eqtr4d 1937	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
42	29, 41	oe0lem 5197	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  {copab 3395  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  1oc1o 5172   .o comu 5175   ^o coe 5176

This theorem is referenced by:  oecl 5218  oeclOLD 5219  oe1 5225  oe1m 5226  oen0 5261  oeordi 5262  oewordri 5267  oeordsuc 5269  oeoalem 5271  oeoelem 5273  nnecl 5285  nneclOLD 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-omul 5180  df-oexp 5181

Copyright terms: Public domain