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Theorem oeordsuc 7235
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oeordsuc  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc
StepHypRef Expression
1 onelon 4892 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 432 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
32adantr 463 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
4 oewordri 7233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
543adant1 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C ) 
C_  ( B  ^o  C ) ) )
6 oecl 7179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
763adant2 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C )  e.  On )
8 oecl 7179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C
)  e.  On )
983adant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C )  e.  On )
10 simp1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 omwordri 7213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( B  ^o  C )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
127, 9, 10, 11syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
135, 12syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
14 oesuc 7169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
15143adant2 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
1615sseq1d 3516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A ) ) )
1713, 16sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
18 ne0i 3789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
19 on0eln0 4922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
2018, 19syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
2120adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  B )
)
22 oen0 7227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )
2322ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
2421, 23syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
25 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  B  e.  On )
2625, 8jca 530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On ) )
27 omordi 7207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2826, 27sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2928ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3029com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3124, 30mpdd 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
32313adant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
33 oesuc 7169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
34333adant1 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
3534eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( B  ^o  suc  C )  <-> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
3632, 35sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
3717, 36jcad 531 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
38373expa 1194 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
39 sucelon 6625 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  On  <->  suc  C  e.  On )
40 oecl 7179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
41 oecl 7179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  e.  On )
42 ontr2 4914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ^o  suc  C )  e.  On  /\  ( B  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4340, 41, 42syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  C  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4443anandirs 829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  suc  C  e.  On )  ->  (
( ( A  ^o  suc  C )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  /\  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4539, 44sylan2b 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4638, 45syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4746exp31 602 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4847com4l 84 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4948imp 427 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
503, 49mpdd 40 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    C_ wss 3461   (/)c0 3783   Oncon0 4867   suc csuc 4869  (class class class)co 6270    .o comu 7120    ^o coe 7121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-oexp 7128
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