Theorem oeordsuc 7146

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4855	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	ex 434	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3	2	adantr 465	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> A e. On ) )
4		oewordri 7144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
5	4	3adant1 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
6		oecl 7090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
7	6	3adant2 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
8		oecl 7090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
9	8	3adant1 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
10		simp1 988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> A e. On )
11		omwordri 7124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o C ) e. On /\ ( B ^o C ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
13	5, 12	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
14		oesuc 7080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
15	14	3adant2 1007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
16	15	sseq1d 3494	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) <-> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
17	13, 16	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
18		ne0i 3754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. B -> B =/= (/) )
19		on0eln0 4885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
20	18, 19	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
22		oen0 7138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( B ^o C ) )
23	22	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
24	21, 23	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
25		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> B e. On )
26	25, 8	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) )
27		omordi 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
28	26, 27	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
30	29	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
31	24, 30	mpdd 40	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
32	31	3adant1 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
33		oesuc 7080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
34	33	3adant1 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
35	34	eleq2d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) <-> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
36	32, 35	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) )
37	17, 36	jcad 533	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
38	37	3expa 1188	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
39		sucelon 6541	. . . . . . 7 |- ( C e. On <-> suc C e. On )
40		oecl 7090	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ suc C e. On ) -> ( A ^o suc C ) e. On )
41		oecl 7090	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ suc C e. On ) -> ( B ^o suc C ) e. On )
42		ontr2 4877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^o suc C ) e. On /\ ( B ^o suc C ) e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
43	40, 41, 42	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ suc C e. On ) /\ ( B e. On /\ suc C e. On ) ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
44	43	anandirs 827	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ suc C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
45	39, 44	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
46	38, 45	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
47	46	exp31 604	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
48	47	com4l 84	. . 3 |- ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
49	48	imp 429	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
50	3, 49	mpdd 40	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   C_ wss 3439   (/)c0 3748   Oncon0 4830   suc csuc 4832  (class class class)co 6203   .o comu 7031   ^o coe 7032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039

This theorem is referenced by: (None)