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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oeordsuc | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) |
Ref | Expression |
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oeordsuc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | onelon 5451 |
. . . 4
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2 | 1 | ex 436 |
. . 3
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3 | 2 | adantr 467 |
. 2
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4 | oewordri 7298 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 4 | 3adant1 1027 |
. . . . . . . . . 10
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6 | oecl 7244 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | 3adant2 1028 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | oecl 7244 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 8 | 3adant1 1027 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | simp1 1009 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | omwordri 7278 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 7, 9, 10, 11 | syl3anc 1269 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 5, 12 | syld 45 |
. . . . . . . . 9
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14 | oesuc 7234 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | 3adant2 1028 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | sseq1d 3461 |
. . . . . . . . 9
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17 | 13, 16 | sylibrd 238 |
. . . . . . . 8
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18 | ne0i 3739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | on0eln0 5481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 18, 19 | syl5ibr 225 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 20 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | oen0 7292 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 22 | ex 436 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 21, 23 | syld 45 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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26 | 25, 8 | jca 535 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | omordi 7272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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28 | 26, 27 | sylan 474 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28 | ex 436 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 29 | com23 81 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 24, 30 | mpdd 41 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | 3adant1 1027 |
. . . . . . . . 9
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33 | oesuc 7234 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | 3adant1 1027 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | eleq2d 2516 |
. . . . . . . . 9
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36 | 32, 35 | sylibrd 238 |
. . . . . . . 8
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37 | 17, 36 | jcad 536 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | 3expa 1209 |
. . . . . 6
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39 | sucelon 6649 |
. . . . . . 7
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40 | oecl 7244 |
. . . . . . . . 9
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41 | oecl 7244 |
. . . . . . . . 9
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42 | ontr2 5473 |
. . . . . . . . 9
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43 | 40, 41, 42 | syl2an 480 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | anandirs 841 |
. . . . . . 7
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45 | 39, 44 | sylan2b 478 |
. . . . . 6
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46 | 38, 45 | syld 45 |
. . . . 5
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47 | 46 | exp31 609 |
. . . 4
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48 | 47 | com4l 87 |
. . 3
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49 | 48 | imp 431 |
. 2
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50 | 3, 49 | mpdd 41 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-rep 4518 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-pss 3422 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-tp 3975 df-op 3977 df-uni 4202 df-iun 4283 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-tr 4501 df-eprel 4748 df-id 4752 df-po 4758 df-so 4759 df-fr 4796 df-we 4798 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-pred 5383 df-ord 5429 df-on 5430 df-lim 5431 df-suc 5432 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 df-ov 6298 df-oprab 6299 df-mpt2 6300 df-om 6698 df-1st 6798 df-2nd 6799 df-wrecs 7033 df-recs 7095 df-rdg 7133 df-1o 7187 df-oadd 7191 df-omul 7192 df-oexp 7193 |
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