Theorem oeordsuc 7313

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5455	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	ex 441	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3	2	adantr 472	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> A e. On ) )
4		oewordri 7311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
5	4	3adant1 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
6		oecl 7257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
7	6	3adant2 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
8		oecl 7257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
9	8	3adant1 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
10		simp1 1030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> A e. On )
11		omwordri 7291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o C ) e. On /\ ( B ^o C ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
13	5, 12	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
14		oesuc 7247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
15	14	3adant2 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
16	15	sseq1d 3445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) <-> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
17	13, 16	sylibrd 242	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
18		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. B -> B =/= (/) )
19		on0eln0 5485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
20	18, 19	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
21	20	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
22		oen0 7305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( B ^o C ) )
23	22	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
24	21, 23	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
25		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> B e. On )
26	25, 8	jca 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) )
27		omordi 7285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
28	26, 27	sylan 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
29	28	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
30	29	com23 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
31	24, 30	mpdd 40	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
32	31	3adant1 1048	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
33		oesuc 7247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
34	33	3adant1 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
35	34	eleq2d 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) <-> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
36	32, 35	sylibrd 242	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) )
37	17, 36	jcad 542	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
38	37	3expa 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
39		sucelon 6663	. . . . . . 7 |- ( C e. On <-> suc C e. On )
40		oecl 7257	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ suc C e. On ) -> ( A ^o suc C ) e. On )
41		oecl 7257	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ suc C e. On ) -> ( B ^o suc C ) e. On )
42		ontr2 5477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^o suc C ) e. On /\ ( B ^o suc C ) e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
43	40, 41, 42	syl2an 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ suc C e. On ) /\ ( B e. On /\ suc C e. On ) ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
44	43	anandirs 847	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ suc C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
45	39, 44	sylan2b 483	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
46	38, 45	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
47	46	exp31 615	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
48	47	com4l 86	. . 3 |- ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
49	48	imp 436	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
50	3, 49	mpdd 40	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   C_ wss 3390   (/)c0 3722   Oncon0 5430   suc csuc 5432  (class class class)co 6308   .o comu 7198   ^o coe 7199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-oexp 7206

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