Theorem oeordsuc 7301

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5465	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	ex 436	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3	2	adantr 467	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> A e. On ) )
4		oewordri 7299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
5	4	3adant1 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
6		oecl 7245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
7	6	3adant2 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
8		oecl 7245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
9	8	3adant1 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
10		simp1 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> A e. On )
11		omwordri 7279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o C ) e. On /\ ( B ^o C ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
13	5, 12	syld 46	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
14		oesuc 7235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
15	14	3adant2 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
16	15	sseq1d 3492	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) <-> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
17	13, 16	sylibrd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
18		ne0i 3768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. B -> B =/= (/) )
19		on0eln0 5495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
20	18, 19	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
22		oen0 7293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( B ^o C ) )
23	22	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
24	21, 23	syld 46	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
25		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> B e. On )
26	25, 8	jca 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) )
27		omordi 7273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
28	26, 27	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
29	28	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
30	29	com23 82	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
31	24, 30	mpdd 42	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
32	31	3adant1 1024	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
33		oesuc 7235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
34	33	3adant1 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
35	34	eleq2d 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) <-> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
36	32, 35	sylibrd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) )
37	17, 36	jcad 536	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
38	37	3expa 1206	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
39		sucelon 6656	. . . . . . 7 |- ( C e. On <-> suc C e. On )
40		oecl 7245	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ suc C e. On ) -> ( A ^o suc C ) e. On )
41		oecl 7245	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ suc C e. On ) -> ( B ^o suc C ) e. On )
42		ontr2 5487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^o suc C ) e. On /\ ( B ^o suc C ) e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
43	40, 41, 42	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ suc C e. On ) /\ ( B e. On /\ suc C e. On ) ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
44	43	anandirs 839	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ suc C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
45	39, 44	sylan2b 478	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
46	38, 45	syld 46	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
47	46	exp31 608	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
48	47	com4l 88	. . 3 |- ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
49	48	imp 431	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
50	3, 49	mpdd 42	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   C_ wss 3437   (/)c0 3762   Oncon0 5440   suc csuc 5442  (class class class)co 6303   .o comu 7186   ^o coe 7187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-oexp 7194

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