Theorem oeordsuc 7300

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5451	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	ex 436	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3	2	adantr 467	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> A e. On ) )
4		oewordri 7298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
5	4	3adant1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
6		oecl 7244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
7	6	3adant2 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
8		oecl 7244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
9	8	3adant1 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
10		simp1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> A e. On )
11		omwordri 7278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o C ) e. On /\ ( B ^o C ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
13	5, 12	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
14		oesuc 7234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
15	14	3adant2 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
16	15	sseq1d 3461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) <-> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
17	13, 16	sylibrd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
18		ne0i 3739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. B -> B =/= (/) )
19		on0eln0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
20	18, 19	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
22		oen0 7292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( B ^o C ) )
23	22	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
24	21, 23	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
25		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> B e. On )
26	25, 8	jca 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) )
27		omordi 7272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
28	26, 27	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
29	28	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
30	29	com23 81	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
31	24, 30	mpdd 41	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
32	31	3adant1 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
33		oesuc 7234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
34	33	3adant1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
35	34	eleq2d 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) <-> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
36	32, 35	sylibrd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) )
37	17, 36	jcad 536	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
38	37	3expa 1209	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
39		sucelon 6649	. . . . . . 7 |- ( C e. On <-> suc C e. On )
40		oecl 7244	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ suc C e. On ) -> ( A ^o suc C ) e. On )
41		oecl 7244	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ suc C e. On ) -> ( B ^o suc C ) e. On )
42		ontr2 5473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^o suc C ) e. On /\ ( B ^o suc C ) e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
43	40, 41, 42	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ suc C e. On ) /\ ( B e. On /\ suc C e. On ) ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
44	43	anandirs 841	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ suc C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
45	39, 44	sylan2b 478	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
46	38, 45	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
47	46	exp31 609	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
48	47	com4l 87	. . 3 |- ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
49	48	imp 431	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
50	3, 49	mpdd 41	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   C_ wss 3406   (/)c0 3733   Oncon0 5426   suc csuc 5428  (class class class)co 6295   .o comu 7185   ^o coe 7186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-oexp 7193

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