Theorem oeordsuc 7235

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4892	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	ex 432	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3	2	adantr 463	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> A e. On ) )
4		oewordri 7233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
5	4	3adant1 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
6		oecl 7179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
7	6	3adant2 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
8		oecl 7179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
9	8	3adant1 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
10		simp1 994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> A e. On )
11		omwordri 7213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o C ) e. On /\ ( B ^o C ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
13	5, 12	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
14		oesuc 7169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
15	14	3adant2 1013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
16	15	sseq1d 3516	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) <-> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
17	13, 16	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
18		ne0i 3789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. B -> B =/= (/) )
19		on0eln0 4922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
20	18, 19	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
21	20	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
22		oen0 7227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( B ^o C ) )
23	22	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
24	21, 23	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
25		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> B e. On )
26	25, 8	jca 530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) )
27		omordi 7207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
28	26, 27	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
29	28	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
30	29	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
31	24, 30	mpdd 40	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
32	31	3adant1 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
33		oesuc 7169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
34	33	3adant1 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
35	34	eleq2d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) <-> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
36	32, 35	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) )
37	17, 36	jcad 531	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
38	37	3expa 1194	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
39		sucelon 6625	. . . . . . 7 |- ( C e. On <-> suc C e. On )
40		oecl 7179	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ suc C e. On ) -> ( A ^o suc C ) e. On )
41		oecl 7179	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ suc C e. On ) -> ( B ^o suc C ) e. On )
42		ontr2 4914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^o suc C ) e. On /\ ( B ^o suc C ) e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
43	40, 41, 42	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ suc C e. On ) /\ ( B e. On /\ suc C e. On ) ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
44	43	anandirs 829	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ suc C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
45	39, 44	sylan2b 473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
46	38, 45	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
47	46	exp31 602	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
48	47	com4l 84	. . 3 |- ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
49	48	imp 427	. 2 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
50	3, 49	mpdd 40	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   C_ wss 3461   (/)c0 3783   Oncon0 4867   suc csuc 4869  (class class class)co 6270   .o comu 7120   ^o coe 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-oexp 7128

This theorem is referenced by: (None)