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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oeordsuc | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) |
Ref | Expression |
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oeordsuc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | onelon 5455 |
. . . 4
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2 | 1 | ex 441 |
. . 3
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3 | 2 | adantr 472 |
. 2
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4 | oewordri 7311 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 4 | 3adant1 1048 |
. . . . . . . . . 10
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6 | oecl 7257 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | 3adant2 1049 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | oecl 7257 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 8 | 3adant1 1048 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | simp1 1030 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | omwordri 7291 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 7, 9, 10, 11 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 5, 12 | syld 44 |
. . . . . . . . 9
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14 | oesuc 7247 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | 3adant2 1049 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | sseq1d 3445 |
. . . . . . . . 9
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17 | 13, 16 | sylibrd 242 |
. . . . . . . 8
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18 | ne0i 3728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | on0eln0 5485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 18, 19 | syl5ibr 229 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 20 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | oen0 7305 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 22 | ex 441 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 21, 23 | syld 44 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | simpl 464 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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26 | 25, 8 | jca 541 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | omordi 7285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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28 | 26, 27 | sylan 479 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28 | ex 441 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 29 | com23 80 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 24, 30 | mpdd 40 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | 3adant1 1048 |
. . . . . . . . 9
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33 | oesuc 7247 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | 3adant1 1048 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | eleq2d 2534 |
. . . . . . . . 9
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36 | 32, 35 | sylibrd 242 |
. . . . . . . 8
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37 | 17, 36 | jcad 542 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | 3expa 1231 |
. . . . . 6
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39 | sucelon 6663 |
. . . . . . 7
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40 | oecl 7257 |
. . . . . . . . 9
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41 | oecl 7257 |
. . . . . . . . 9
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42 | ontr2 5477 |
. . . . . . . . 9
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43 | 40, 41, 42 | syl2an 485 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | anandirs 847 |
. . . . . . 7
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45 | 39, 44 | sylan2b 483 |
. . . . . 6
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46 | 38, 45 | syld 44 |
. . . . 5
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47 | 46 | exp31 615 |
. . . 4
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48 | 47 | com4l 86 |
. . 3
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49 | 48 | imp 436 |
. 2
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50 | 3, 49 | mpdd 40 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-oadd 7204 df-omul 7205 df-oexp 7206 |
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