Theorem oeordi 7313

Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeordi	|- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Proof of Theorem oeordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6322	. . . . 5 |- ( x = suc A -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc A ) )
2	1	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
3	2	imbi2d 322	. . 3 |- ( x = suc A -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
4		oveq2 6322	. . . . 5 |- ( x = y -> ( C ^o x ) = ( C ^o y ) )
5	4	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) )
6	5	imbi2d 322	. . 3 |- ( x = y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
7		oveq2 6322	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc y ) )
8	7	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
9	8	imbi2d 322	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
10		oveq2 6322	. . . . 5 |- ( x = B -> ( C ^o x ) = ( C ^o B ) )
11	10	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
12	11	imbi2d 322	. . 3 |- ( x = B -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) ) )
13		eldifi 3566	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> C e. On )
14		oecl 7264	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
15	13, 14	sylan 478	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
16		om1 7268	. . . . . . 7 |- ( ( C ^o A ) e. On -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
18		ondif2 7229	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( On \ 2o ) <-> ( C e. On /\ 1o e. C ) )
19	18	simprbi 470	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> 1o e. C )
20	19	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> 1o e. C )
21	13	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> C e. On )
22		simpr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A e. On )
23		dif20el 7232	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> (/) e. C )
24	23	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. C )
25		oen0 7312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
26	21, 22, 24, 25	syl21anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
27		omordi 7292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o A ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o A ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
28	21, 15, 26, 27	syl21anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
29	20, 28	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
30	17, 29	eqeltrrd 2540	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
31		oesuc 7254	. . . . . 6 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
32	13, 31	sylan 478	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
33	30, 32	eleqtrrd 2542	. . . 4 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) )
34	33	expcom 441	. . 3 |- ( A e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
35		oecl 7264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
36	13, 35	sylan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
37		om1 7268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C ^o y ) e. On -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
39	19	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> 1o e. C )
40	13	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> C e. On )
41		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> y e. On )
42	23	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. C )
43		oen0 7312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
44	40, 41, 42, 43	syl21anc 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
45		omordi 7292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o y ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
46	40, 36, 44, 45	syl21anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
48	38, 47	eqeltrrd 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
49		oesuc 7254	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
50	13, 49	sylan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
51	48, 50	eleqtrrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) )
52		suceloni 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> suc y e. On )
53		oecl 7264	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ suc y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
54	13, 52, 53	syl2an 484	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
55		ontr1 5487	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^o suc y ) e. On -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
57	51, 56	mpan2d 685	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
58	57	expcom 441	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
59	58	adantr 471	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
60	59	a2d 29	. . 3 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
61		bi2.04 367	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
62	61	ralbii 2830	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
63		r19.21v 2804	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
64	62, 63	bitri 257	. . . 4 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
65		limsuc 6702	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
66	65	biimpa 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x )
67		elex 3065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. x -> suc A e. _V )
68		sucexb 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
69		sucidg 5519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
70	68, 69	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. _V -> A e. suc A )
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> A e. suc A )
72		eleq2 2528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( A e. y <-> A e. suc A ) )
73		oveq2 6322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = suc A -> ( C ^o y ) = ( C ^o suc A ) )
74	73	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
75	72, 74	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc A -> ( ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) <-> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
76	75	rspcv 3157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
77	71, 76	mpid 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
78	77	anc2li 564	. . . . . . . . . 10 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
79	74	rspcev 3161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
80		eliun 4296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) <-> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
81	79, 80	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) )
82	78, 81	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
83	66, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
84	83	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
85	13	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> C e. On )
86		simpl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> Lim x )
87	23	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> (/) e. C )
88		vex 3059	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
89		oelim 7261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
90	88, 89	mpanlr1 697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
91	85, 86, 87, 90	syl21anc 1275	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
92	91	adantlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
93	92	eleq2d 2524	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
94	84, 93	sylibrd 242	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) )
95	94	ex 440	. . . . 5 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
96	95	a2d 29	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
97	64, 96	syl5bi 225	. . 3 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
98	3, 6, 9, 12, 34, 60, 97	tfindsg2 6714	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
99	98	impancom 446	1 |- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   (/)c0 3742   U_ciun 4291   Oncon0 5441   Lim wlim 5442   suc csuc 5443  (class class class)co 6314   1oc1o 7200   2oc2o 7201   .o comu 7205   ^o coe 7206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-oexp 7213

This theorem is referenced by:  oeord  7314  oecan  7315  oeworde  7319  oelimcl  7326