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Theorem oeordi 7236
Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeordi  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( A  e.  B  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  B ) ) )

Proof of Theorem oeordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  ^o  x
)  =  ( C  ^o  suc  A ) )
21eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x )  <-> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A
) ) ) )
4 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( C  ^o  x )  =  ( C  ^o  y
) )
54eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  x )  <->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
7 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  ^o  x
)  =  ( C  ^o  suc  y ) )
87eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x )  <-> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) ) )
10 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( C  ^o  x )  =  ( C  ^o  B
) )
1110eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  x )  <->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  B ) ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  B ) ) ) )
13 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  C  e.  On )
14 oecl 7187 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  On )
1513, 14sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  On )
16 om1 7191 . . . . . . 7  |-  ( ( C  ^o  A )  e.  On  ->  (
( C  ^o  A
)  .o  1o )  =  ( C  ^o  A ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  =  ( C  ^o  A ) )
18 ondif2 7152 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  <->  ( C  e.  On  /\  1o  e.  C ) )
1918simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  1o  e.  C )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  1o  e.  C )
2113adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  C  e.  On )
22 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  On )
23 dif20el 7155 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  C
)
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  -> 
(/)  e.  C )
25 oen0 7235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  (/)  e.  ( C  ^o  A ) )
2621, 22, 24, 25syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( C  ^o  A ) )
27 omordi 7215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  ( C  ^o  A
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( C  ^o  A ) )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  A
)  .o  C ) ) )
2821, 15, 26, 27syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) ) )
2920, 28mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
3017, 29eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
31 oesuc 7177 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  A )  =  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
3213, 31sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  A )  =  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
3330, 32eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) )
3433expcom 435 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) )
35 oecl 7187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  On )
3613, 35sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  On )
37 om1 7191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  ^o  y )  e.  On  ->  (
( C  ^o  y
)  .o  1o )  =  ( C  ^o  y ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  =  ( C  ^o  y ) )
3919adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  1o  e.  C )
4013adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  C  e.  On )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  y  e.  On )
4223adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  -> 
(/)  e.  C )
43 oen0 7235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  (/)  e.  ( C  ^o  y ) )
4440, 41, 42, 43syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( C  ^o  y ) )
45 omordi 7215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  ( C  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  y
)  .o  C ) ) )
4640, 36, 44, 45syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  y )  .o  C ) ) )
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  y )  .o  C ) )
4838, 47eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  ( ( C  ^o  y )  .o  C ) )
49 oesuc 7177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  =  ( ( C  ^o  y
)  .o  C ) )
5013, 49sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  =  ( ( C  ^o  y
)  .o  C ) )
5148, 50eleqtrrd 2558 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  ( C  ^o  suc  y ) )
52 suceloni 6632 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
53 oecl 7187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  e.  On )
5413, 52, 53syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  e.  On )
55 ontr1 4924 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  ^o  suc  y
)  e.  On  ->  ( ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y )  /\  ( C  ^o  y )  e.  ( C  ^o  suc  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
)  /\  ( C  ^o  y )  e.  ( C  ^o  suc  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) )
5751, 56mpan2d 674 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) )
5857expcom 435 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  (
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y )  -> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) ) )
5958adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  y )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
)  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) ) )
6059a2d 26 . . 3  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  y )  ->  ( ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) ) )
61 bi2.04 361 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
6261ralbii 2895 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  e.  ( On 
\  2o )  -> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( C  e.  ( On  \  2o )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
63 r19.21v 2869 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <-> 
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
6462, 63bitri 249 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  e.  ( On 
\  2o )  -> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
65 limsuc 6668 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
6665biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  suc  A  e.  x )
67 elex 3122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc 
A  e.  x  ->  suc  A  e.  _V )
68 sucexb 6628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
69 sucidg 4956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7068, 69sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc 
A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7167, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  x  ->  A  e.  suc  A )
72 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( A  e.  y  <-> 
A  e.  suc  A
) )
73 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  ^o  y
)  =  ( C  ^o  suc  A ) )
7473eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y )  <-> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) )
7572, 74imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  <->  ( A  e. 
suc  A  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) ) )
7675rspcv 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  A  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) ) )
7771, 76mpid 41 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A
) ) )
7877anc2li 557 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( suc  A  e.  x  /\  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) ) )
7974rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) )  ->  E. y  e.  x  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )
80 eliun 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y )  <->  E. y  e.  x  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
8278, 81syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) ) )
8366, 82syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) ) )
8483adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e. 
U_ y  e.  x  ( C  ^o  y
) ) )
8513adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  C  e.  On )
86 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  Lim  x )
8723adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (/)  e.  C
)
88 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
89 oelim 7184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
9088, 89mpanlr1 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  C )  -> 
( C  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
9185, 86, 87, 90syl21anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( C  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  ^o  y
) )
9291adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( C  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
9392eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x
)  <->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) ) )
9484, 93sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x
) ) )
9594ex 434 . . . . 5  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) ) ) )
9695a2d 26 . . . 4  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  (
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) ) ) )
9764, 96syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x
) ) ) )
983, 6, 9, 12, 34, 60, 97tfindsg2 6680 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  B ) ) )
9998impancom 440 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( A  e.  B  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   (/)c0 3785   U_ciun 4325   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880  (class class class)co 6284   1oc1o 7123   2oc2o 7124    .o comu 7128    ^o coe 7129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136
This theorem is referenced by:  oeord  7237  oecan  7238  oeworde  7242  oelimcl  7249
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