Theorem oeordi 5262

Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oeordi	|- (((B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B -> (C ^o A) e. (C ^o B)))

Proof of Theorem oeordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = suc A -> (C ^o x) = (C ^o suc A))
2	1	eleq2d 1964	. . . . . . 7 |- (x = suc A -> ((C ^o A) e. (C ^o x) <-> (C ^o A) e. (C ^o suc A)))
3	2	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (x = suc A -> (((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o x)) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o suc A))))
4		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (C ^o x) = (C ^o y))
5	4	eleq2d 1964	. . . . . . 7 |- (x = y -> ((C ^o A) e. (C ^o x) <-> (C ^o A) e. (C ^o y)))
6	5	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (x = y -> (((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o x)) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o y))))
7		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = suc y -> (C ^o x) = (C ^o suc y))
8	7	eleq2d 1964	. . . . . . 7 |- (x = suc y -> ((C ^o A) e. (C ^o x) <-> (C ^o A) e. (C ^o suc y)))
9	8	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o x)) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
10		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (C ^o x) = (C ^o B))
11	10	eleq2d 1964	. . . . . . 7 |- (x = B -> ((C ^o A) e. (C ^o x) <-> (C ^o A) e. (C ^o B)))
12	11	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (x = B -> (((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o x)) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o B))))
13		0lt1o 5192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. 1o
14		ontr1 3710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (C e. On -> (((/) e. 1o /\ 1o e. C) -> (/) e. C))
15	13, 14	mpani 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- (C e. On -> (1o e. C -> (/) e. C))
16	15	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (1o e. C -> (/) e. C))
17		oen0 5261	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. C) -> (/) e. (C ^o A))
18	17	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((/) e. C -> (/) e. (C ^o A)))
19	16, 18	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (1o e. C -> (/) e. (C ^o A)))
20		simpl 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ A e. On) -> C e. On)
21		oecl 5218	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C ^o A) e. On)
22	20, 21	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C e. On /\ (C ^o A) e. On))
23	19, 22	jctild 662	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (1o e. C -> ((C e. On /\ (C ^o A) e. On) /\ (/) e. (C ^o A))))
24		omordi 5245	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. On /\ (C ^o A) e. On) /\ (/) e. (C ^o A)) -> (1o e. C -> ((C ^o A) .o 1o) e. ((C ^o A) .o C)))
25	23, 24	syli 65	. . . . . . . . 9 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (1o e. C -> ((C ^o A) .o 1o) e. ((C ^o A) .o C)))
26		om1 5223	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C ^o A) e. On -> ((C ^o A) .o 1o) = (C ^o A))
27	21, 26	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((C ^o A) .o 1o) = (C ^o A))
28	27	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (((C ^o A) .o 1o) e. ((C ^o A) .o C) <-> (C ^o A) e. ((C ^o A) .o C)))
29		oesuc 5211	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C ^o suc A) = ((C ^o A) .o C))
30	29	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((C ^o A) e. (C ^o suc A) <-> (C ^o A) e. ((C ^o A) .o C)))
31	28, 30	bitr4d 590	. . . . . . . . 9 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (((C ^o A) .o 1o) e. ((C ^o A) .o C) <-> (C ^o A) e. (C ^o suc A)))
32	25, 31	sylibd 219	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (1o e. C -> (C ^o A) e. (C ^o suc A)))
33	32	expcom 403	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (C e. On -> (1o e. C -> (C ^o A) e. (C ^o suc A))))
34	33	imp3a 388	. . . . . 6 |- (A e. On -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o suc A)))
35	15	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (1o e. C -> (/) e. C))
36		oen0 5261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((C e. On /\ y e. On) /\ (/) e. C) -> (/) e. (C ^o y))
37	36	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((/) e. C -> (/) e. (C ^o y)))
38	35, 37	syld 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (1o e. C -> (/) e. (C ^o y)))
39		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ y e. On) -> C e. On)
40		oecl 5218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (C ^o y) e. On)
41	39, 40	jca 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (C e. On /\ (C ^o y) e. On))
42	38, 41	jctild 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (1o e. C -> ((C e. On /\ (C ^o y) e. On) /\ (/) e. (C ^o y))))
43		omordi 5245	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. On /\ (C ^o y) e. On) /\ (/) e. (C ^o y)) -> (1o e. C -> ((C ^o y) .o 1o) e. ((C ^o y) .o C)))
44	42, 43	syli 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (1o e. C -> ((C ^o y) .o 1o) e. ((C ^o y) .o C)))
45		om1 5223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C ^o y) e. On -> ((C ^o y) .o 1o) = (C ^o y))
46	40, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((C ^o y) .o 1o) = (C ^o y))
47	46	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (((C ^o y) .o 1o) e. ((C ^o y) .o C) <-> (C ^o y) e. ((C ^o y) .o C)))
48		oesuc 5211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (C ^o suc y) = ((C ^o y) .o C))
49	48	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((C ^o y) e. (C ^o suc y) <-> (C ^o y) e. ((C ^o y) .o C)))
50	47, 49	bitr4d 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (((C ^o y) .o 1o) e. ((C ^o y) .o C) <-> (C ^o y) e. (C ^o suc y)))
51	44, 50	sylibd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (1o e. C -> (C ^o y) e. (C ^o suc y)))
52		oecl 5218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ suc y e. On) -> (C ^o suc y) e. On)
53		sucelon 3898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. On <-> suc y e. On)
54	52, 53	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (C ^o suc y) e. On)
55		ontr1 3710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C ^o suc y) e. On -> (((C ^o A) e. (C ^o y) /\ (C ^o y) e. (C ^o suc y)) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y)))
56	54, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (((C ^o A) e. (C ^o y) /\ (C ^o y) e. (C ^o suc y)) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y)))
57	56	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((C ^o A) e. (C ^o y) -> ((C ^o y) e. (C ^o suc y) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
58	57	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((C ^o y) e. (C ^o suc y) -> ((C ^o A) e. (C ^o y) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
59	51, 58	syld 30	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (1o e. C -> ((C ^o A) e. (C ^o y) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
60	59	expcom 403	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (C e. On -> (1o e. C -> ((C ^o A) e. (C ^o y) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y)))))
61	60	imp3a 388	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> ((C ^o A) e. (C ^o y) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
62	61	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((y e. On /\ A e. y) -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> ((C ^o A) e. (C ^o y) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
63	62	a2d 16	. . . . . 6 |- ((y e. On /\ A e. y) -> (((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o suc y))))
64		limsuc 3933	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Lim x -> (A e. x <-> suc A e. x))
65	64	biimpa 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim x /\ A e. x) -> suc A e. x)
66		elisset 2299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (suc A e. x -> suc A e. _V)
67		sucexb 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. _V <-> suc A e. _V)
68		sucidg 3743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. _V -> A e. suc A)
69	67, 68	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (suc A e. _V -> A e. suc A)
70	66, 69	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (suc A e. x -> A e. suc A)
71		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = suc A -> (A e. y <-> A e. suc A))
72		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = suc A -> (C ^o y) = (C ^o suc A))
73	72	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = suc A -> ((C ^o A) e. (C ^o y) <-> (C ^o A) e. (C ^o suc A)))
74	71, 73	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = suc A -> ((A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) <-> (A e. suc A -> (C ^o A) e. (C ^o suc A))))
75	74	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (suc A e. x -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (A e. suc A -> (C ^o A) e. (C ^o suc A))))
76	70, 75	mpid 58	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (suc A e. x -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (C ^o A) e. (C ^o suc A)))
77	76	anc2li 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc A e. x -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (suc A e. x /\ (C ^o A) e. (C ^o suc A))))
78	73	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc A e. x /\ (C ^o A) e. (C ^o suc A)) -> E.y e. x (C ^o A) e. (C ^o y))
79		eliun 3259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C ^o A) e. U_y e. x (C ^o y) <-> E.y e. x (C ^o A) e. (C ^o y))
80	78, 79	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((suc A e. x /\ (C ^o A) e. (C ^o suc A)) -> (C ^o A) e. U_y e. x (C ^o y))
81	77, 80	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. x -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (C ^o A) e. U_y e. x (C ^o y)))
82	65, 81	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((Lim x /\ A e. x) -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (C ^o A) e. U_y e. x (C ^o y)))
83	82	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((Lim x /\ A e. x) /\ (C e. On /\ 1o e. C)) -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (C ^o A) e. U_y e. x (C ^o y)))
84	15	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ Lim x) -> (1o e. C -> (/) e. C))
85		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
86		oelim 5214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((C e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) /\ (/) e. C) -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y))
87	85, 86	mpanlr1 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((C e. On /\ Lim x) /\ (/) e. C) -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y))
88	87	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ Lim x) -> ((/) e. C -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y)))
89	84, 88	syld 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. On /\ Lim x) -> (1o e. C -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y)))
90	89	impr 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. On /\ (Lim x /\ 1o e. C)) -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y))
91	90	an1s 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim x /\ (C e. On /\ 1o e. C)) -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y))
92	91	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((Lim x /\ A e. x) /\ (C e. On /\ 1o e. C)) -> (C ^o x) = U_y e. x (C ^o y))
93	92	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (((Lim x /\ A e. x) /\ (C e. On /\ 1o e. C)) -> ((C ^o A) e. (C ^o x) <-> (C ^o A) e. U_y e. x (C ^o y)))
94	83, 93	sylibrd 221	. . . . . . . . 9 |- (((Lim x /\ A e. x) /\ (C e. On /\ 1o e. C)) -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (C ^o A) e. (C ^o x)))
95	94	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((Lim x /\ A e. x) -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y)) -> (C ^o A) e. (C ^o x))))
96	95	a2d 16	. . . . . . 7 |- ((Lim x /\ A e. x) -> (((C e. On /\ 1o e. C) -> A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y))) -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o x))))
97		bi2.04 177	. . . . . . . . 9 |- ((A e. y -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o y))) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y))))
98	97	ralbii 2127	. . . . . . . 8 |- (A.y e. x (A e. y -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o y))) <-> A.y e. x ((C e. On /\ 1o e. C) -> (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y))))
99		r19.21v 2178	. . . . . . . 8 |- (A.y e. x ((C e. On /\ 1o e. C) -> (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y))) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y))))
100	98, 99	bitri 190	. . . . . . 7 |- (A.y e. x (A e. y -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o y))) <-> ((C e. On /\ 1o e. C) -> A.y e. x (A e. y -> (C ^o A) e. (C ^o y))))
101	96, 100	syl5ib 223	. . . . . 6 |- ((Lim x /\ A e. x) -> (A.y e. x (A e. y -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o y))) -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o x))))
102	3, 6, 9, 12, 34, 63, 101	tfindsg2 3945	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. B) -> ((C e. On /\ 1o e. C) -> (C ^o A) e. (C ^o B)))
103	102	exp4b 410	. . . 4 |- (B e. On -> (A e. B -> (C e. On -> (1o e. C -> (C ^o A) e. (C ^o B)))))
104	103	com34 40	. . 3 |- (B e. On -> (A e. B -> (1o e. C -> (C e. On -> (C ^o A) e. (C ^o B)))))
105	104	com24 41	. 2 |- (B e. On -> (C e. On -> (1o e. C -> (A e. B -> (C ^o A) e. (C ^o B)))))
106	105	imp31 389	1 |- (((B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B -> (C ^o A) e. (C ^o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  U_ciun 3255  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   .o comu 5175   ^o coe 5176

This theorem is referenced by:  oeord 5263  oecan 5264  oeworde 5268

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-oexp 5181

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