Theorem oeordi 7236

Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeordi	|- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Proof of Theorem oeordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6292	. . . . 5 |- ( x = suc A -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc A ) )
2	1	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( x = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
3	2	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = suc A -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
4		oveq2 6292	. . . . 5 |- ( x = y -> ( C ^o x ) = ( C ^o y ) )
5	4	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) )
6	5	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
7		oveq2 6292	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc y ) )
8	7	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
9	8	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
10		oveq2 6292	. . . . 5 |- ( x = B -> ( C ^o x ) = ( C ^o B ) )
11	10	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = B -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) ) )
13		eldifi 3626	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> C e. On )
14		oecl 7187	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
15	13, 14	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
16		om1 7191	. . . . . . 7 |- ( ( C ^o A ) e. On -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
18		ondif2 7152	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( On \ 2o ) <-> ( C e. On /\ 1o e. C ) )
19	18	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> 1o e. C )
20	19	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> 1o e. C )
21	13	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> C e. On )
22		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A e. On )
23		dif20el 7155	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> (/) e. C )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. C )
25		oen0 7235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
26	21, 22, 24, 25	syl21anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
27		omordi 7215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o A ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o A ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
28	21, 15, 26, 27	syl21anc 1227	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
29	20, 28	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
30	17, 29	eqeltrrd 2556	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
31		oesuc 7177	. . . . . 6 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
32	13, 31	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
33	30, 32	eleqtrrd 2558	. . . 4 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) )
34	33	expcom 435	. . 3 |- ( A e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
35		oecl 7187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
36	13, 35	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
37		om1 7191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C ^o y ) e. On -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
39	19	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> 1o e. C )
40	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> C e. On )
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> y e. On )
42	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. C )
43		oen0 7235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
44	40, 41, 42, 43	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
45		omordi 7215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o y ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
46	40, 36, 44, 45	syl21anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
48	38, 47	eqeltrrd 2556	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
49		oesuc 7177	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
50	13, 49	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
51	48, 50	eleqtrrd 2558	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) )
52		suceloni 6632	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> suc y e. On )
53		oecl 7187	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ suc y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
54	13, 52, 53	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
55		ontr1 4924	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^o suc y ) e. On -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
57	51, 56	mpan2d 674	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
58	57	expcom 435	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
59	58	adantr 465	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
60	59	a2d 26	. . 3 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
61		bi2.04 361	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
62	61	ralbii 2895	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
63		r19.21v 2869	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
64	62, 63	bitri 249	. . . 4 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
65		limsuc 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
66	65	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x )
67		elex 3122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. x -> suc A e. _V )
68		sucexb 6628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
69		sucidg 4956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
70	68, 69	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. _V -> A e. suc A )
71	67, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> A e. suc A )
72		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( A e. y <-> A e. suc A ) )
73		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = suc A -> ( C ^o y ) = ( C ^o suc A ) )
74	73	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
75	72, 74	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc A -> ( ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) <-> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
76	75	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
77	71, 76	mpid 41	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
78	77	anc2li 557	. . . . . . . . . 10 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
79	74	rspcev 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
80		eliun 4330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) <-> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
81	79, 80	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) )
82	78, 81	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
83	66, 82	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
84	83	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
85	13	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> C e. On )
86		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> Lim x )
87	23	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> (/) e. C )
88		vex 3116	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
89		oelim 7184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
90	88, 89	mpanlr1 686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
91	85, 86, 87, 90	syl21anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
92	91	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
93	92	eleq2d 2537	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
94	84, 93	sylibrd 234	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) )
95	94	ex 434	. . . . 5 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
96	95	a2d 26	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
97	64, 96	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
98	3, 6, 9, 12, 34, 60, 97	tfindsg2 6680	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
99	98	impancom 440	1 |- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   (/)c0 3785   U_ciun 4325   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880  (class class class)co 6284   1oc1o 7123   2oc2o 7124   .o comu 7128   ^o coe 7129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136

This theorem is referenced by:  oeord  7237  oecan  7238  oeworde  7242  oelimcl  7249