Theorem oeordi 7243

Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeordi	|- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Proof of Theorem oeordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6257	. . . . 5 |- ( x = suc A -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc A ) )
2	1	eleq2d 2491	. . . 4 |- ( x = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
3	2	imbi2d 317	. . 3 |- ( x = suc A -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
4		oveq2 6257	. . . . 5 |- ( x = y -> ( C ^o x ) = ( C ^o y ) )
5	4	eleq2d 2491	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) )
6	5	imbi2d 317	. . 3 |- ( x = y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
7		oveq2 6257	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc y ) )
8	7	eleq2d 2491	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
9	8	imbi2d 317	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
10		oveq2 6257	. . . . 5 |- ( x = B -> ( C ^o x ) = ( C ^o B ) )
11	10	eleq2d 2491	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
12	11	imbi2d 317	. . 3 |- ( x = B -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) ) )
13		eldifi 3530	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> C e. On )
14		oecl 7194	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
15	13, 14	sylan 473	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
16		om1 7198	. . . . . . 7 |- ( ( C ^o A ) e. On -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
18		ondif2 7159	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( On \ 2o ) <-> ( C e. On /\ 1o e. C ) )
19	18	simprbi 465	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> 1o e. C )
20	19	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> 1o e. C )
21	13	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> C e. On )
22		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A e. On )
23		dif20el 7162	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> (/) e. C )
24	23	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. C )
25		oen0 7242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
26	21, 22, 24, 25	syl21anc 1263	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
27		omordi 7222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o A ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o A ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
28	21, 15, 26, 27	syl21anc 1263	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
29	20, 28	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
30	17, 29	eqeltrrd 2507	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
31		oesuc 7184	. . . . . 6 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
32	13, 31	sylan 473	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
33	30, 32	eleqtrrd 2509	. . . 4 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) )
34	33	expcom 436	. . 3 |- ( A e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
35		oecl 7194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
36	13, 35	sylan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
37		om1 7198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C ^o y ) e. On -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
39	19	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> 1o e. C )
40	13	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> C e. On )
41		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> y e. On )
42	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. C )
43		oen0 7242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
44	40, 41, 42, 43	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
45		omordi 7222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o y ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
46	40, 36, 44, 45	syl21anc 1263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
48	38, 47	eqeltrrd 2507	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
49		oesuc 7184	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
50	13, 49	sylan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
51	48, 50	eleqtrrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) )
52		suceloni 6598	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> suc y e. On )
53		oecl 7194	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ suc y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
54	13, 52, 53	syl2an 479	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
55		ontr1 5431	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^o suc y ) e. On -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
57	51, 56	mpan2d 678	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
58	57	expcom 436	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
59	58	adantr 466	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
60	59	a2d 29	. . 3 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
61		bi2.04 362	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
62	61	ralbii 2796	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
63		r19.21v 2770	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
64	62, 63	bitri 252	. . . 4 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
65		limsuc 6634	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
66	65	biimpa 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x )
67		elex 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. x -> suc A e. _V )
68		sucexb 6594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
69		sucidg 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
70	68, 69	sylbir 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. _V -> A e. suc A )
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> A e. suc A )
72		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( A e. y <-> A e. suc A ) )
73		oveq2 6257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = suc A -> ( C ^o y ) = ( C ^o suc A ) )
74	73	eleq2d 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
75	72, 74	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc A -> ( ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) <-> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
76	75	rspcv 3121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
77	71, 76	mpid 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
78	77	anc2li 559	. . . . . . . . . 10 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
79	74	rspcev 3125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
80		eliun 4247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) <-> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
81	79, 80	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) )
82	78, 81	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
83	66, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
84	83	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
85	13	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> C e. On )
86		simpl 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> Lim x )
87	23	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> (/) e. C )
88		vex 3025	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
89		oelim 7191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
90	88, 89	mpanlr1 690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
91	85, 86, 87, 90	syl21anc 1263	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
92	91	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
93	92	eleq2d 2491	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
94	84, 93	sylibrd 237	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) )
95	94	ex 435	. . . . 5 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
96	95	a2d 29	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
97	64, 96	syl5bi 220	. . 3 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
98	3, 6, 9, 12, 34, 60, 97	tfindsg2 6646	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
99	98	impancom 441	1 |- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   (/)c0 3704   U_ciun 4242   Oncon0 5385   Lim wlim 5386   suc csuc 5387  (class class class)co 6249   1oc1o 7130   2oc2o 7131   .o comu 7135   ^o coe 7136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-oexp 7143

This theorem is referenced by:  oeord  7244  oecan  7245  oeworde  7249  oelimcl  7256