Theorem oeordi 7228

Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeordi	|- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Proof of Theorem oeordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6278	. . . . 5 |- ( x = suc A -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc A ) )
2	1	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
3	2	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = suc A -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
4		oveq2 6278	. . . . 5 |- ( x = y -> ( C ^o x ) = ( C ^o y ) )
5	4	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) )
6	5	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
7		oveq2 6278	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc y ) )
8	7	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
9	8	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
10		oveq2 6278	. . . . 5 |- ( x = B -> ( C ^o x ) = ( C ^o B ) )
11	10	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
12	11	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = B -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) ) )
13		eldifi 3612	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> C e. On )
14		oecl 7179	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
15	13, 14	sylan 469	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
16		om1 7183	. . . . . . 7 |- ( ( C ^o A ) e. On -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
18		ondif2 7144	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( On \ 2o ) <-> ( C e. On /\ 1o e. C ) )
19	18	simprbi 462	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> 1o e. C )
20	19	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> 1o e. C )
21	13	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> C e. On )
22		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A e. On )
23		dif20el 7147	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> (/) e. C )
24	23	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. C )
25		oen0 7227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
26	21, 22, 24, 25	syl21anc 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
27		omordi 7207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o A ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o A ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
28	21, 15, 26, 27	syl21anc 1225	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
29	20, 28	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
30	17, 29	eqeltrrd 2543	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
31		oesuc 7169	. . . . . 6 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
32	13, 31	sylan 469	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
33	30, 32	eleqtrrd 2545	. . . 4 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) )
34	33	expcom 433	. . 3 |- ( A e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
35		oecl 7179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
36	13, 35	sylan 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
37		om1 7183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C ^o y ) e. On -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
39	19	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> 1o e. C )
40	13	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> C e. On )
41		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> y e. On )
42	23	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. C )
43		oen0 7227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
44	40, 41, 42, 43	syl21anc 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
45		omordi 7207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o y ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
46	40, 36, 44, 45	syl21anc 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
48	38, 47	eqeltrrd 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
49		oesuc 7169	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
50	13, 49	sylan 469	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
51	48, 50	eleqtrrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) )
52		suceloni 6621	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> suc y e. On )
53		oecl 7179	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ suc y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
54	13, 52, 53	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
55		ontr1 4913	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^o suc y ) e. On -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
57	51, 56	mpan2d 672	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
58	57	expcom 433	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
59	58	adantr 463	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
60	59	a2d 26	. . 3 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
61		bi2.04 359	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
62	61	ralbii 2885	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
63		r19.21v 2859	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
64	62, 63	bitri 249	. . . 4 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
65		limsuc 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
66	65	biimpa 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x )
67		elex 3115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. x -> suc A e. _V )
68		sucexb 6617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
69		sucidg 4945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
70	68, 69	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. _V -> A e. suc A )
71	67, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> A e. suc A )
72		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( A e. y <-> A e. suc A ) )
73		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = suc A -> ( C ^o y ) = ( C ^o suc A ) )
74	73	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
75	72, 74	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc A -> ( ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) <-> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
76	75	rspcv 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
77	71, 76	mpid 41	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
78	77	anc2li 555	. . . . . . . . . 10 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
79	74	rspcev 3207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
80		eliun 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) <-> E. y e. x ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) )
81	79, 80	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) )
82	78, 81	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
83	66, 82	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
84	83	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
85	13	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> C e. On )
86		simpl 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> Lim x )
87	23	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> (/) e. C )
88		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
89		oelim 7176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
90	88, 89	mpanlr1 684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
91	85, 86, 87, 90	syl21anc 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
92	91	adantlr 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
93	92	eleq2d 2524	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
94	84, 93	sylibrd 234	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) )
95	94	ex 432	. . . . 5 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
96	95	a2d 26	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
97	64, 96	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
98	3, 6, 9, 12, 34, 60, 97	tfindsg2 6669	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
99	98	impancom 438	1 |- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   (/)c0 3783   U_ciun 4315   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869  (class class class)co 6270   1oc1o 7115   2oc2o 7116   .o comu 7120   ^o coe 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-oexp 7128

This theorem is referenced by:  oeord  7229  oecan  7230  oeworde  7234  oelimcl  7241