Theorem oeord 4273

Description: Ordering property of ordinal exponentiation. Corollary 8.34 of [TakeutiZaring] p. 68 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
oeord	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B <-> (C ^o A) e. (C ^o B)))

Proof of Theorem oeord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeordi 4272	. . 3 |- (((B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B -> (C ^o A) e. (C ^o B)))
2	1	3adantl1 815	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B -> (C ^o A) e. (C ^o B)))
3		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (A = B -> (C ^o A) = (C ^o B))
4	3	a1i 8	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A = B -> (C ^o A) = (C ^o B)))
5		oeordi 4272	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (B e. A -> (C ^o B) e. (C ^o A)))
6	5	3adantl2 816	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (B e. A -> (C ^o B) e. (C ^o A)))
7	4, 6	orim12d 576	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> ((A = B \/ B e. A) -> ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
8	7	con3d 99	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (-. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A)) -> -. (A = B \/ B e. A)))
9		ordtri2 3039	. . . . . . . . 9 |- ((Ord (C ^o A) /\ Ord (C ^o B)) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
10		eloni 3015	. . . . . . . . 9 |- ((C ^o A) e. On -> Ord (C ^o A))
11		eloni 3015	. . . . . . . . 9 |- ((C ^o B) e. On -> Ord (C ^o B))
12	9, 10, 11	syl2an 465	. . . . . . . 8 |- (((C ^o A) e. On /\ (C ^o B) e. On) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
13		oecl 4230	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C ^o A) e. On)
14		oecl 4230	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ B e. On) -> (C ^o B) e. On)
15	12, 13, 14	syl2an 465	. . . . . . 7 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (C e. On /\ B e. On)) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
16	15	anandis 523	. . . . . 6 |- ((C e. On /\ (A e. On /\ B e. On)) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
17	16	ancoms 447	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ C e. On) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
18	17	3impa 840	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
19	18	adantr 398	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) <-> -. ((C ^o A) = (C ^o B) \/ (C ^o B) e. (C ^o A))))
20		ordtri2 3039	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
21		eloni 3015	. . . . . 6 |- (A e. On -> Ord A)
22		eloni 3015	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
23	20, 21, 22	syl2an 465	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
24	23	3adant3 811	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
25	24	adantr 398	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
26	8, 19, 25	3imtr4d 554	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> ((C ^o A) e. (C ^o B) -> A e. B))
27	2, 26	impbid 527	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ 1o e. C) -> (A e. B <-> (C ^o A) e. (C ^o B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999  Ord word 3004  Oncon0 3005  (class class class)co 4021  1oc1o 4186   ^o coe 4190

This theorem is referenced by:  oeword 4275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-oexp 4195

Copyright terms: Public domain