Theorem oeoelem 7303

Description: Lemma for oeoe 7304. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oeoelem.1	|- A e. On
oeoelem.2	|- (/) e. A

Assertion

Ref	Expression
oeoelem	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem oeoelem

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6309	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o (/) ) )
2		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
3	2	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2444	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6309	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o y ) )
6		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
7	6	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = y -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2444	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) ) )
9		oveq2 6309	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o suc y ) )
10		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
11	10	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2444	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6309	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o C ) )
14		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
15	14	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = C -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2444	. . 3 |- ( x = C -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
17		oeoelem.1	. . . . . 6 |- A e. On
18		oecl 7243	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
19	17, 18	mpan 674	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A ^o B ) e. On )
20		oe0 7228	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
21	19, 20	syl 17	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
22		om0 7223	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( B .o (/) ) = (/) )
23	22	oveq2d 6317	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A ^o ( B .o (/) ) ) = ( A ^o (/) ) )
24		oe0 7228	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A ^o (/) ) = 1o
26	23, 25	syl6eq 2479	. . . 4 |- ( B e. On -> ( A ^o ( B .o (/) ) ) = 1o )
27	21, 26	eqtr4d 2466	. . 3 |- ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) )
28		oveq1 6308	. . . . 5 |- ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
29		oesuc 7233	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) )
30	19, 29	sylan 473	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) )
31		omsuc 7232	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 6317	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B .o suc y ) ) = ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		omcl 7242	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o y ) e. On )
34		oeoa 7302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
35	17, 34	mp3an1 1347	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
36	33, 35	sylan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ y e. On ) /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
37	36	anabss1 821	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
38	32, 37	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B .o suc y ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
39	30, 38	eqeq12d 2444	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) ) )
40	28, 39	syl5ibr 224	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) )
41	40	expcom 436	. . 3 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) ) )
42		iuneq2 4313	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
43		vex 3084	. . . . . . 7 |- x e. _V
44		oeoelem.2	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. A
45		oen0 7291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
46	44, 45	mpan2 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
47		oelim 7240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. ( A ^o B ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
48	18, 47	sylanl1 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. ( A ^o B ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
49	46, 48	sylan2 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
50	49	anabss1 821	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
51	17, 50	mpanl1 684	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
52	43, 51	mpanr1 687	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
53		omlim 7239	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( B .o x ) = U_ y e. x ( B .o y ) )
54	43, 53	mpanr1 687	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( B .o x ) = U_ y e. x ( B .o y ) )
55	54	oveq2d 6317	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) )
56	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> x e. _V )
57		limord 5497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> Ord x )
58		ordelon 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord x /\ y e. x ) -> y e. On )
59	57, 58	sylan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> y e. On )
60	59, 33	sylan2 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ ( Lim x /\ y e. x ) ) -> ( B .o y ) e. On )
61	60	anassrs 652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ y e. x ) -> ( B .o y ) e. On )
62	61	ralrimiva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> A. y e. x ( B .o y ) e. On )
63		0ellim 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> (/) e. x )
64		ne0i 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. x -> x =/= (/) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> x =/= (/) )
66	65	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> x =/= (/) )
67		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- w e. _V
68		oelim 7240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
69	44, 68	mpan2 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
70	17, 69	mpan 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. _V /\ Lim w ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
71	67, 70	mpan 674	. . . . . . . . 9 |- ( Lim w -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
72		oewordi 7296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
73	44, 72	mpan2 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
74	17, 73	mp3an3 1349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
75	74	3impia 1202	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ z C_ w ) -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) )
76	71, 75	onoviun 7066	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( B .o y ) e. On /\ x =/= (/) ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
77	56, 62, 66, 76	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
78	55, 77	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
79	52, 78	eqeq12d 2444	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) ) )
80	42, 79	syl5ibr 224	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) ) )
81	80	expcom 436	. . 3 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) ) ) )
82	4, 8, 12, 16, 27, 41, 81	tfinds3 6701	. 2 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
83	82	impcom 431	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   (/)c0 3761   U_ciun 4296   Ord word 5437   Oncon0 5438   Lim wlim 5439   suc csuc 5440  (class class class)co 6301   1oc1o 7179   +o coa 7183   .o comu 7184   ^o coe 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-oexp 7192

This theorem is referenced by:  oeoe  7304