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Theorem oeoelem 7150
Description: Lemma for oeoe 7151. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oeoelem.1  |-  A  e.  On
oeoelem.2  |-  (/)  e.  A
Assertion
Ref Expression
oeoelem  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoelem
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  (/) ) )
2 oveq2 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
32oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  (/) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  y ) )
6 oveq2 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
76oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) ) )
9 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y ) )
10 oveq2 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1110oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  C ) )
14 oveq2 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1514oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) ) )
17 oeoelem.1 . . . . . 6  |-  A  e.  On
18 oecl 7090 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
1917, 18mpan 670 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
20 oe0 7075 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  1o )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  1o )
22 om0 7070 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2322oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  ^o  (/) ) )
24 oe0 7075 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A  ^o  (/) )  =  1o
2623, 25syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) )  =  1o )
2721, 26eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) )
28 oveq1 6210 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B
) ) )
29 oesuc 7080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3019, 29sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) ) )
31 omsuc 7079 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
3231oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  ^o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) ) )
33 omcl 7089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
34 oeoa 7149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3517, 34mp3an1 1302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3633, 35sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3736anabss1 810 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3832, 37eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3930, 38eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  .o  ( A  ^o  B
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) ) )
4028, 39syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
4140expcom 435 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
42 iuneq2 4298 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
43 vex 3081 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
44 oeoelem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  A
45 oen0 7138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
4644, 45mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  B ) )
47 oelim 7087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  B )  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
4818, 47sylanl1 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y ) )
4946, 48sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5049anabss1 810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5117, 50mpanl1 680 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5243, 51mpanr1 683 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y
) )
53 omlim 7086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
5443, 53mpanr1 683 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( B  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  .o  y
) )
5554oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) ) )
5643a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  x  e.  _V )
57 limord 4889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
58 ordelon 4854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
5957, 58sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6059, 33sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x ) )  -> 
( B  .o  y
)  e.  On )
6160anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
6261ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  A. y  e.  x  ( B  .o  y )  e.  On )
63 0ellim 4892 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
64 ne0i 3754 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  x  =/=  (/) )
6665adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  x  =/=  (/) )
67 vex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
68 oelim 7087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
6944, 68mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7017, 69mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  ( A  ^o  w )  = 
U_ z  e.  w  ( A  ^o  z
) )
7167, 70mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  w  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
72 oewordi 7143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w ) ) )
7344, 72mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( A  ^o  z ) 
C_  ( A  ^o  w ) ) )
7417, 73mp3an3 1304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z
)  C_  ( A  ^o  w ) ) )
75743impia 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w
) )
7671, 75onoviun 6917 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( B  .o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7756, 62, 66, 76syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7855, 77eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7952, 78eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) ) )
8042, 79syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) ) ) )
8180expcom 435 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x
) ) ) ) )
824, 8, 12, 16, 27, 41, 81tfinds3 6588 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  ^o  B
)  ^o  C )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C
) ) ) )
8382impcom 430 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   U_ciun 4282   Ord word 4829   Oncon0 4830   Lim wlim 4831   suc csuc 4832  (class class class)co 6203   1oc1o 7026    +o coa 7030    .o comu 7031    ^o coe 7032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039
This theorem is referenced by:  oeoe  7151
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