Theorem oeoelem 7265

Description: Lemma for oeoe 7266. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oeoelem.1	|- A e. On
oeoelem.2	|- (/) e. A

Assertion

Ref	Expression
oeoelem	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem oeoelem

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o (/) ) )
2		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
3	2	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2479	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6304	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o y ) )
6		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
7	6	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = y -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2479	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) ) )
9		oveq2 6304	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o suc y ) )
10		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
11	10	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2479	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6304	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o C ) )
14		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
15	14	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = C -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2479	. . 3 |- ( x = C -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
17		oeoelem.1	. . . . . 6 |- A e. On
18		oecl 7205	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
19	17, 18	mpan 670	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A ^o B ) e. On )
20		oe0 7190	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
21	19, 20	syl 16	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
22		om0 7185	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( B .o (/) ) = (/) )
23	22	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A ^o ( B .o (/) ) ) = ( A ^o (/) ) )
24		oe0 7190	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A ^o (/) ) = 1o
26	23, 25	syl6eq 2514	. . . 4 |- ( B e. On -> ( A ^o ( B .o (/) ) ) = 1o )
27	21, 26	eqtr4d 2501	. . 3 |- ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) )
28		oveq1 6303	. . . . 5 |- ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
29		oesuc 7195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) )
30	19, 29	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) )
31		omsuc 7194	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B .o suc y ) ) = ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		omcl 7204	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o y ) e. On )
34		oeoa 7264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
35	17, 34	mp3an1 1311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
36	33, 35	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ y e. On ) /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
37	36	anabss1 814	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
38	32, 37	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B .o suc y ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
39	30, 38	eqeq12d 2479	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) ) )
40	28, 39	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) )
41	40	expcom 435	. . 3 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) ) )
42		iuneq2 4349	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
43		vex 3112	. . . . . . 7 |- x e. _V
44		oeoelem.2	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. A
45		oen0 7253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
46	44, 45	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
47		oelim 7202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. ( A ^o B ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
48	18, 47	sylanl1 650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. ( A ^o B ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
49	46, 48	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
50	49	anabss1 814	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
51	17, 50	mpanl1 680	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
52	43, 51	mpanr1 683	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
53		omlim 7201	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( B .o x ) = U_ y e. x ( B .o y ) )
54	43, 53	mpanr1 683	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( B .o x ) = U_ y e. x ( B .o y ) )
55	54	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) )
56	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> x e. _V )
57		limord 4946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> Ord x )
58		ordelon 4911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord x /\ y e. x ) -> y e. On )
59	57, 58	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> y e. On )
60	59, 33	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ ( Lim x /\ y e. x ) ) -> ( B .o y ) e. On )
61	60	anassrs 648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ y e. x ) -> ( B .o y ) e. On )
62	61	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> A. y e. x ( B .o y ) e. On )
63		0ellim 4949	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> (/) e. x )
64		ne0i 3799	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. x -> x =/= (/) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> x =/= (/) )
66	65	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> x =/= (/) )
67		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- w e. _V
68		oelim 7202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
69	44, 68	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
70	17, 69	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. _V /\ Lim w ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
71	67, 70	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( Lim w -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
72		oewordi 7258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
73	44, 72	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
74	17, 73	mp3an3 1313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
75	74	3impia 1193	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ z C_ w ) -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) )
76	71, 75	onoviun 7032	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( B .o y ) e. On /\ x =/= (/) ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
77	56, 62, 66, 76	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
78	55, 77	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
79	52, 78	eqeq12d 2479	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) ) )
80	42, 79	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) ) )
81	80	expcom 435	. . 3 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) ) ) )
82	4, 8, 12, 16, 27, 41, 81	tfinds3 6698	. 2 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
83	82	impcom 430	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U_ciun 4332   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889  (class class class)co 6296   1oc1o 7141   +o coa 7145   .o comu 7146   ^o coe 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154

This theorem is referenced by:  oeoe  7266