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Theorem oeoelem 7303
Description: Lemma for oeoe 7304. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oeoelem.1  |-  A  e.  On
oeoelem.2  |-  (/)  e.  A
Assertion
Ref Expression
oeoelem  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoelem
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6309 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  (/) ) )
2 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
32oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2444 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  (/) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6309 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  y ) )
6 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
76oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2444 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) ) )
9 oveq2 6309 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y ) )
10 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1110oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2444 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6309 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  C ) )
14 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1514oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2444 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) ) )
17 oeoelem.1 . . . . . 6  |-  A  e.  On
18 oecl 7243 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
1917, 18mpan 674 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
20 oe0 7228 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  1o )
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  1o )
22 om0 7223 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2322oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  ^o  (/) ) )
24 oe0 7228 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A  ^o  (/) )  =  1o
2623, 25syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) )  =  1o )
2721, 26eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) )
28 oveq1 6308 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B
) ) )
29 oesuc 7233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3019, 29sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) ) )
31 omsuc 7232 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
3231oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  ^o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) ) )
33 omcl 7242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
34 oeoa 7302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3517, 34mp3an1 1347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3633, 35sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3736anabss1 821 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3832, 37eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3930, 38eqeq12d 2444 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  .o  ( A  ^o  B
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) ) )
4028, 39syl5ibr 224 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
4140expcom 436 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
42 iuneq2 4313 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
43 vex 3084 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
44 oeoelem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  A
45 oen0 7291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
4644, 45mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  B ) )
47 oelim 7240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  B )  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
4818, 47sylanl1 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y ) )
4946, 48sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5049anabss1 821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5117, 50mpanl1 684 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5243, 51mpanr1 687 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y
) )
53 omlim 7239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
5443, 53mpanr1 687 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( B  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  .o  y
) )
5554oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) ) )
5643a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  x  e.  _V )
57 limord 5497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
58 ordelon 5462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
5957, 58sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6059, 33sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x ) )  -> 
( B  .o  y
)  e.  On )
6160anassrs 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
6261ralrimiva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  A. y  e.  x  ( B  .o  y )  e.  On )
63 0ellim 5500 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
64 ne0i 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  x  =/=  (/) )
6665adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  x  =/=  (/) )
67 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
68 oelim 7240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
6944, 68mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7017, 69mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  ( A  ^o  w )  = 
U_ z  e.  w  ( A  ^o  z
) )
7167, 70mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  w  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
72 oewordi 7296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w ) ) )
7344, 72mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( A  ^o  z ) 
C_  ( A  ^o  w ) ) )
7417, 73mp3an3 1349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z
)  C_  ( A  ^o  w ) ) )
75743impia 1202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w
) )
7671, 75onoviun 7066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( B  .o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7756, 62, 66, 76syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7855, 77eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7952, 78eqeq12d 2444 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) ) )
8042, 79syl5ibr 224 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) ) ) )
8180expcom 436 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x
) ) ) ) )
824, 8, 12, 16, 27, 41, 81tfinds3 6701 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  ^o  B
)  ^o  C )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C
) ) ) )
8382impcom 431 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U_ciun 4296   Ord word 5437   Oncon0 5438   Lim wlim 5439   suc csuc 5440  (class class class)co 6301   1oc1o 7179    +o coa 7183    .o comu 7184    ^o coe 7185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-oexp 7192
This theorem is referenced by:  oeoe  7304
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