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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oeoe | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) |
Ref | Expression |
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oeoe |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 6298 |
. . . . . . . . . . . 12
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2 | oe0m0 7222 |
. . . . . . . . . . . 12
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3 | 1, 2 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 3 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . 10
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5 | oe1m 7246 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 4, 5 | sylan9eqr 2507 |
. . . . . . . . 9
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7 | 6 | adantll 720 |
. . . . . . . 8
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8 | oveq2 6298 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 0elon 5476 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | oecl 7239 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 9, 10 | mpan 676 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | oe0 7224 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 8, 13 | sylan9eqr 2507 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | adantlr 721 |
. . . . . . . 8
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16 | 7, 15 | jaodan 794 |
. . . . . . 7
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17 | om00 7276 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | biimpar 488 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . 8
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20 | 19, 2 | syl6eq 2501 |
. . . . . . 7
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21 | 16, 20 | eqtr4d 2488 |
. . . . . 6
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22 | on0eln0 5478 |
. . . . . . . . . 10
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23 | on0eln0 5478 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 22, 23 | bi2anan9 884 |
. . . . . . . . 9
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25 | neanior 2716 |
. . . . . . . . 9
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26 | 24, 25 | syl6bb 265 |
. . . . . . . 8
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27 | oe0m1 7223 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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28 | 27 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | oe0m1 7223 |
. . . . . . . . . . . . 13
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31 | 30 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 29, 31 | sylan9eq 2505 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | an4s 835 |
. . . . . . . . . 10
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34 | om00el 7277 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | omcl 7238 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | oe0m1 7223 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 34, 37 | bitr3d 259 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 33, 39 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | ex 436 |
. . . . . . . 8
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42 | 26, 41 | sylbird 239 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | imp 431 |
. . . . . 6
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44 | 21, 43 | pm2.61dan 800 |
. . . . 5
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45 | oveq1 6297 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | oveq1d 6305 |
. . . . . 6
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47 | oveq1 6297 |
. . . . . 6
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48 | 46, 47 | eqeq12d 2466 |
. . . . 5
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49 | 44, 48 | syl5ibr 225 |
. . . 4
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50 | 49 | impcom 432 |
. . 3
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51 | oveq1 6297 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . 8
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53 | oveq1 6297 |
. . . . . . . 8
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54 | 52, 53 | eqeq12d 2466 |
. . . . . . 7
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55 | 54 | imbi2d 318 |
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58 | 56, 57 | anbi12d 717 |
. . . . . . . . 9
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59 | eleq1 2517 |
. . . . . . . . . 10
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60 | eleq2 2518 |
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61 | 59, 60 | anbi12d 717 |
. . . . . . . . 9
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62 | 1on 7189 |
. . . . . . . . . 10
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63 | 0lt1o 7206 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 62, 63 | pm3.2i 457 |
. . . . . . . . 9
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65 | 58, 61, 64 | elimhyp 3939 |
. . . . . . . 8
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66 | 65 | simpli 460 |
. . . . . . 7
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67 | 65 | simpri 464 |
. . . . . . 7
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68 | 66, 67 | oeoelem 7299 |
. . . . . 6
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69 | 55, 68 | dedth 3932 |
. . . . 5
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70 | 69 | imp 431 |
. . . 4
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71 | 70 | an32s 813 |
. . 3
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72 | 50, 71 | oe0lem 7215 |
. 2
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73 | 72 | 3impb 1204 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-omul 7187 df-oexp 7188 |
This theorem is referenced by: infxpenc 8449 |
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