Theorem oeoe 6801

Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoe	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem oeoe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
2		oe0m0 6723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
3	1, 2	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = 1o )
4	3	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( 1o ^o C ) )
5		oe1m 6747	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> ( 1o ^o C ) = 1o )
6	4, 5	sylan9eqr 2458	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ B = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
7	6	adantll 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ B = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
8		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) )
9		0elon 4594	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. On
10		oecl 6740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
11	9, 10	mpan 652	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
12		oe0 6725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
14	8, 13	sylan9eqr 2458	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
15	14	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
16	7, 15	jaodan 761	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
17		om00 6777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B .o C ) = (/) <-> ( B = (/) \/ C = (/) ) ) )
18	17	biimpar 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( B .o C ) = (/) )
19	18	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
20	19, 2	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = 1o )
21	16, 20	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
22		on0eln0 4596	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
23		on0eln0 4596	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
24	22, 23	bi2anan9 844	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) /\ C =/= (/) ) ) )
25		neanior 2652	. . . . . . . . 9 |- ( ( B =/= (/) /\ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) \/ C = (/) ) )
26	24, 25	syl6bb 253	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) \/ C = (/) ) ) )
27		oe0m1 6724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
28	27	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
29	28	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
30		oe0m1 6724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
31	30	biimpa 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
32	29, 31	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = (/) )
33	32	an4s 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = (/) )
34		om00el 6778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) )
35		omcl 6739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B .o C ) e. On )
36		oe0m1 6724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B .o C ) e. On -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
38	34, 37	bitr3d 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
39	38	biimpa 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) )
40	33, 39	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
41	40	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
42	26, 41	sylbird 227	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) \/ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
43	42	imp 419	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
44	21, 43	pm2.61dan 767	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
45		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
46	45	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( ( (/) ^o B ) ^o C ) )
47		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B .o C ) ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2418	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) <-> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
49	44, 48	syl5ibr 213	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
50	49	impcom 420	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
51		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
52	51	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) )
53		oveq1 6047	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B .o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) )
54	52, 53	eqeq12d 2418	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) <-> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) ) )
55	54	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) <-> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) ) ) )
56		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
57		eleq2 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
58	56, 57	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
59		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
60		eleq2 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
61	59, 60	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
62		1on 6690	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
63		0lt1o 6707	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
64	62, 63	pm3.2i 442	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
65	58, 61, 64	elimhyp 3747	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
66	65	simpli 445	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
67	65	simpri 449	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
68	66, 67	oeoelem 6800	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) )
69	55, 68	dedth 3740	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
70	69	imp 419	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
71	70	an32s 780	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
72	50, 71	oe0lem 6716	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
73	72	3impb 1149	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   (/)c0 3588   ifcif 3699   Oncon0 4541  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   .o comu 6681   ^o coe 6682

This theorem is referenced by:  infxpenc  7855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689