Theorem oeoe 7038

Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoe	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem oeoe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
2		oe0m0 6960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
3	1, 2	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = 1o )
4	3	oveq1d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( 1o ^o C ) )
5		oe1m 6984	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> ( 1o ^o C ) = 1o )
6	4, 5	sylan9eqr 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ B = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
7	6	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ B = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
8		oveq2 6099	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) )
9		0elon 4772	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. On
10		oecl 6977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
11	9, 10	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
12		oe0 6962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
14	8, 13	sylan9eqr 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
16	7, 15	jaodan 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
17		om00 7014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B .o C ) = (/) <-> ( B = (/) \/ C = (/) ) ) )
18	17	biimpar 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( B .o C ) = (/) )
19	18	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
20	19, 2	syl6eq 2491	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = 1o )
21	16, 20	eqtr4d 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
22		on0eln0 4774	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
23		on0eln0 4774	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
24	22, 23	bi2anan9 868	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) /\ C =/= (/) ) ) )
25		neanior 2697	. . . . . . . . 9 |- ( ( B =/= (/) /\ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) \/ C = (/) ) )
26	24, 25	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) \/ C = (/) ) ) )
27		oe0m1 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
28	27	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
29	28	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
30		oe0m1 6961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
31	30	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
32	29, 31	sylan9eq 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = (/) )
33	32	an4s 822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = (/) )
34		om00el 7015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) )
35		omcl 6976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B .o C ) e. On )
36		oe0m1 6961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B .o C ) e. On -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
38	34, 37	bitr3d 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) )
40	33, 39	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
42	26, 41	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) \/ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
43	42	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
44	21, 43	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
45		oveq1 6098	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
46	45	oveq1d 6106	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( ( (/) ^o B ) ^o C ) )
47		oveq1 6098	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B .o C ) ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2457	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) <-> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
49	44, 48	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
50	49	impcom 430	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
51		oveq1 6098	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
52	51	oveq1d 6106	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) )
53		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B .o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) )
54	52, 53	eqeq12d 2457	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) <-> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) ) )
55	54	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) <-> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) ) ) )
56		eleq1 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
57		eleq2 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
58	56, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
59		eleq1 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
60		eleq2 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
61	59, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
62		1on 6927	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
63		0lt1o 6944	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
64	62, 63	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
65	58, 61, 64	elimhyp 3848	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
66	65	simpli 458	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
67	65	simpri 462	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
68	66, 67	oeoelem 7037	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) )
69	55, 68	dedth 3841	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
70	69	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
71	70	an32s 802	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
72	50, 71	oe0lem 6953	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
73	72	3impb 1183	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   (/)c0 3637   ifcif 3791   Oncon0 4719  (class class class)co 6091   1oc1o 6913   .o comu 6918   ^o coe 6919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-oexp 6926

This theorem is referenced by:  infxpenc  8184  infxpencOLD  8189