Theorem oeoe 7266

Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoe	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem oeoe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
2		oe0m0 7188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
3	1, 2	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = 1o )
4	3	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( 1o ^o C ) )
5		oe1m 7212	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> ( 1o ^o C ) = 1o )
6	4, 5	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ B = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
7	6	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ B = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
8		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) )
9		0elon 4940	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. On
10		oecl 7205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
11	9, 10	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
12		oe0 7190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
14	8, 13	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
16	7, 15	jaodan 785	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = 1o )
17		om00 7242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B .o C ) = (/) <-> ( B = (/) \/ C = (/) ) ) )
18	17	biimpar 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( B .o C ) = (/) )
19	18	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
20	19, 2	syl6eq 2514	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = 1o )
21	16, 20	eqtr4d 2501	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
22		on0eln0 4942	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
23		on0eln0 4942	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
24	22, 23	bi2anan9 873	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) /\ C =/= (/) ) ) )
25		neanior 2782	. . . . . . . . 9 |- ( ( B =/= (/) /\ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) \/ C = (/) ) )
26	24, 25	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) \/ C = (/) ) ) )
27		oe0m1 7189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
28	27	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
29	28	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
30		oe0m1 7189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
31	30	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
32	29, 31	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = (/) )
33	32	an4s 826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = (/) )
34		om00el 7243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) )
35		omcl 7204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B .o C ) e. On )
36		oe0m1 7189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B .o C ) e. On -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B .o C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
38	34, 37	bitr3d 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) <-> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) ) )
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( (/) ^o ( B .o C ) ) = (/) )
40	33, 39	eqtr4d 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
42	26, 41	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) \/ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
43	42	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) \/ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
44	21, 43	pm2.61dan 791	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
45		oveq1 6303	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
46	45	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( ( (/) ^o B ) ^o C ) )
47		oveq1 6303	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B .o C ) ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2479	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) <-> ( ( (/) ^o B ) ^o C ) = ( (/) ^o ( B .o C ) ) ) )
49	44, 48	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
50	49	impcom 430	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
51		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
52	51	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) )
53		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B .o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) )
54	52, 53	eqeq12d 2479	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) <-> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) ) )
55	54	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) <-> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) ) ) )
56		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
57		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
58	56, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
59		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
60		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
61	59, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
62		1on 7155	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
63		0lt1o 7172	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
64	62, 63	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
65	58, 61, 64	elimhyp 4003	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
66	65	simpli 458	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
67	65	simpri 462	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
68	66, 67	oeoelem 7265	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B .o C ) ) )
69	55, 68	dedth 3996	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
70	69	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
71	70	an32s 804	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
72	50, 71	oe0lem 7181	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
73	72	3impb 1192	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   (/)c0 3793   ifcif 3944   Oncon0 4887  (class class class)co 6296   1oc1o 7141   .o comu 7146   ^o coe 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154

This theorem is referenced by:  infxpenc  8412  infxpencOLD  8417