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Theorem oeoalem 7163
Description: Lemma for oeoa 7164. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oeoalem.1  |-  A  e.  On
oeoalem.2  |-  (/)  e.  A
oeoalem.3  |-  B  e.  On
Assertion
Ref Expression
oeoalem  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoalem
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
21oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) ) )
3 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
43oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  (/) ) ) )
52, 4eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  <->  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  (/) ) ) ) )
6 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
8 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
98oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  <->  ( A  ^o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) ) )
11 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1211oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y
) ) )
13 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
1413oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
1512, 14eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) )  <-> 
( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
16 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1716oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  C ) ) )
18 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  C
) )
1918oveq2d 6212 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) ) )
2017, 19eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  <->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) ) )
21 oeoalem.1 . . . . 5  |-  A  e.  On
22 oeoalem.3 . . . . 5  |-  B  e.  On
23 oecl 7105 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
2421, 22, 23mp2an 670 . . . 4  |-  ( A  ^o  B )  e.  On
25 om1 7109 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  1o )  =  ( A  ^o  B ) )
2624, 25ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  .o  1o )  =  ( A  ^o  B
)
27 oe0 7090 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
2821, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A  ^o  (/) )  =  1o
2928oveq2i 6207 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  1o )
30 oa0 7084 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
3122, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( B  +o  (/) )  =  B
3231oveq2i 6207 . . 3  |-  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  ^o  B )
3326, 29, 323eqtr4ri 2422 . 2  |-  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  (/) ) )
34 oasuc 7092 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3534oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  ^o  suc  ( B  +o  y ) ) )
36 oacl 7103 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
37 oesuc 7095 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A ) )
3821, 36, 37sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A ) )
3935, 38eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A ) )
4022, 39mpan 668 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y
) )  .o  A
) )
41 oveq1 6203 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A )  =  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
) )
4240, 41sylan9eq 2443 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )  -> 
( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) )  .o  A ) )
43 oecl 7105 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
44 omass 7147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
4524, 21, 44mp3an13 1313 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  .o  A )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  (
( A  ^o  y
)  .o  A ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
47 oesuc 7095 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
4847oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
4946, 48eqtr4d 2426 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5021, 49mpan 668 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  .o  A )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5150adantr 463 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5242, 51eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )  -> 
( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5352ex 432 . 2  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
54 vex 3037 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
55 oalim 7100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
5622, 55mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( B  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  +o  y
) )
5754, 56mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
5857oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
5954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  _V )
60 limord 4851 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
61 ordelon 4816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6260, 61sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6322, 62, 36sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
6463ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  A. y  e.  x  ( B  +o  y )  e.  On )
65 0ellim 4854 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
66 ne0i 3717 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  x  =/=  (/) )
68 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
69 oeoalem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  A
70 oelim 7102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7169, 70mpan2 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7221, 71mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  ( A  ^o  w )  = 
U_ z  e.  w  ( A  ^o  z
) )
7368, 72mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  w  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
74 oewordi 7158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w ) ) )
7569, 74mpan2 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( A  ^o  z ) 
C_  ( A  ^o  w ) ) )
7621, 75mp3an3 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z
)  C_  ( A  ^o  w ) ) )
77763impia 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w
) )
7873, 77onoviun 6932 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( B  +o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
7959, 64, 67, 78syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  +o  y
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
8058, 79eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
81 iuneq2 4260 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )
8280, 81sylan9eq 2443 . . . 4  |-  ( ( Lim  x  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
83 oelim 7102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
8469, 83mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
8521, 84mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
8654, 85mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
8786oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) ) )
8821, 62, 43sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
8988ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  e.  On )
90 omlim 7101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  w )  =  U_ z  e.  w  (
( A  ^o  B
)  .o  z ) )
9124, 90mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  w )  =  U_ z  e.  w  ( ( A  ^o  B )  .o  z ) )
9268, 91mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  w  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  w )  =  U_ z  e.  w  (
( A  ^o  B
)  .o  z ) )
93 omwordi 7138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  ( A  ^o  B )  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( ( A  ^o  B
)  .o  z ) 
C_  ( ( A  ^o  B )  .o  w ) ) )
9424, 93mp3an3 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  z
)  C_  ( ( A  ^o  B )  .o  w ) ) )
95943impia 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  z ) 
C_  ( ( A  ^o  B )  .o  w ) )
9692, 95onoviun 6932 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )
9759, 89, 67, 96syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  ^o  B )  .o 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
9887, 97eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
9998adantr 463 . . . 4  |-  ( ( Lim  x  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
10082, 99eqtr4d 2426 . . 3  |-  ( ( Lim  x  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) ) )
101100ex 432 . 2  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) ) ) )
1025, 10, 15, 20, 33, 53, 101tfinds 6593 1  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U_ciun 4243   Ord word 4791   Oncon0 4792   Lim wlim 4793   suc csuc 4794  (class class class)co 6196   1oc1o 7041    +o coa 7045    .o comu 7046    ^o coe 7047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-oexp 7054
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