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Theorem oeoa 7149
Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
oeoa  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoa
StepHypRef Expression
1 oa00 7111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( B  +o  C )  =  (/)  <->  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
21biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( B  +o  C )  =  (/) )
32oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  ( (/)  ^o  (/) ) )
4 oveq2 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  (/)  ->  ( (/)  ^o  B )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
5 oveq2 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  (/)  ->  ( (/)  ^o  C )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
6 oe0m0 7073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o
75, 6syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  (/)  ->  ( (/)  ^o  C )  =  1o )
84, 7oveqan12d 6222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  ( ( (/)  ^o  (/) )  .o  1o ) )
9 0elon 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  On
10 oecl 7090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  (/)  e.  On )  ->  ( (/)  ^o  (/) )  e.  On )
119, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  ^o  (/) )  e.  On
12 om1 7094 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  ^o  (/) )  e.  On  ->  ( ( (/) 
^o  (/) )  .o  1o )  =  ( (/)  ^o  (/) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  ^o  (/) )  .o  1o )  =  (
(/)  ^o  (/) )
148, 13syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
163, 15eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) ) )
17 oacl 7088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  +o  C
)  e.  On )
18 on0eln0 4885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  +o  C )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( B  +o  C )  <->  ( B  +o  C )  =/=  (/) ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  +o  C )  <->  ( B  +o  C )  =/=  (/) ) )
20 oe0m1 7074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  +o  C )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( B  +o  C )  <->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  (/) ) )
2117, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  +o  C )  <->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  (/) ) )
221necon3abid 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( B  +o  C )  =/=  (/)  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
2319, 21, 223bitr3d 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  (/)  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
2423biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  (/) )
25 on0eln0 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
27 on0eln0 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
2926, 28orbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C )  <-> 
( B  =/=  (/)  \/  C  =/=  (/) ) ) )
30 neorian 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  (/)  \/  C  =/=  (/) )  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )
3129, 30syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C )  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
32 oe0m1 7074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
3332biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( (/)  ^o  B )  =  (/) )
3433oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  ( (/)  .o  ( (/) 
^o  C ) ) )
35 oecl 7090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/) 
^o  C )  e.  On )
369, 35mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
^o  C )  e.  On )
37 om0r 7092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
(/)  ^o  C )  e.  On  ->  ( (/)  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
.o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (/) )
3934, 38sylan9eq 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B )  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  (/) )
4039an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
41 oe0m1 7074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
e.  C  <->  ( (/)  ^o  C
)  =  (/) ) )
4241biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  On  /\  (/) 
e.  C )  -> 
( (/)  ^o  C )  =  (/) )
4342oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  On  /\  (/) 
e.  C )  -> 
( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  (/) ) )
44 oecl 7090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/) 
^o  B )  e.  On )
459, 44mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
^o  B )  e.  On )
46 om0 7070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
(/)  ^o  B )  e.  On  ->  ( ( (/) 
^o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
4843, 47sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( C  e.  On  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
4948anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
5040, 49jaodan 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C ) )  ->  ( ( (/) 
^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  (/) )
5150ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) ) )
5231, 51sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) )  ->  ( (
(/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  (/) ) )
5352imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (/) )
5424, 53eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) ) )
5516, 54pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) ) )
56 oveq1 6210 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) ) )
57 oveq1 6210 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
58 oveq1 6210 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  C )  =  ( (/)  ^o  C ) )
5957, 58oveq12d 6221 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) ) )
6056, 59eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) )  <->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) ) ) )
6155, 60syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) ) ) )
6261impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  A  =  (/) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
63 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) ) )
64 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  ^o  B )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  B ) )
65 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  ^o  C )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) )
6664, 65oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )
6763, 66eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) )  <-> 
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) )
6867imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) ) )
69 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  ( B  +o  C )  =  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C
) )
7069oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) ) )
71 oveq2 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  B )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o ) ) )
7271oveq1d 6218 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  (
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )
)  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )
7370, 72eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  (
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) )  <-> 
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o ) )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) )
7473imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  (
( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )
)  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) ) )
75 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  e.  On  <->  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  e.  On ) )
76 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( (/)  e.  A  <->  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) )
7775, 76anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  <->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  e.  On  /\  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) ) )
78 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( 1o  e.  On 
<->  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  e.  On ) )
79 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) )
8078, 79anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( 1o  e.  On  /\  (/)  e.  1o ) 
<->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  e.  On  /\  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) ) )
81 1on 7040 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
82 0lt1o 7057 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  1o
8381, 82pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  On  /\  (/)  e.  1o )
8477, 80, 83elimhyp 3959 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  e.  On  /\  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o ) )
8584simpli 458 . . . . . . 7  |-  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  e.  On
8684simpri 462 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )
8781elimel 3963 . . . . . . 7  |-  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  e.  On
8885, 86, 87oeoalem 7148 . . . . . 6  |-  ( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )
)  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )
8968, 74, 88dedth2h 3953 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) ) ) )
9089impr 619 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  ( B  e.  On  /\  C  e.  On ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
9190an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  C  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
9262, 91oe0lem 7066 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  C  e.  On ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
93923impb 1184 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3748   ifcif 3902   Oncon0 4830  (class class class)co 6203   1oc1o 7026    +o coa 7030    .o comu 7031    ^o coe 7032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039
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