Theorem oeoa 7284

Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoa	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Proof of Theorem oeoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa00 7246	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) = (/) <-> ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
2	1	biimpar 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( B +o C ) = (/) )
3	2	oveq2d 6291	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
4		oveq2 6283	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
5		oveq2 6283	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = ( (/) ^o (/) ) )
6		oe0m0 7208	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
7	5, 6	syl6eq 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = 1o )
8	4, 7	oveqan12d 6294	. . . . . . . . 9 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) )
9		0elon 5454	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. On
10		oecl 7225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) ^o (/) ) e. On )
11	9, 9, 10	mp2an 683	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
12		om1 7229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) ^o (/) ) e. On -> ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) )
14	8, 13	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
15	14	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
16	3, 15	eqtr4d 2488	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
17		oacl 7223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B +o C ) e. On )
18		on0eln0 5456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
20		oe0m1 7209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
22	1	necon3abid 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) =/= (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
23	19, 21, 22	3bitr3d 291	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
24	23	biimpar 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) )
25		on0eln0 5456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
26	25	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
27		on0eln0 5456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
28	27	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
29	26, 28	orbi12d 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) ) )
30		neorian 2717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) )
31	29, 30	syl6bb 269	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
32		oe0m1 7209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
33	32	biimpa 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
34	33	oveq1d 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) )
35		oecl 7225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o C ) e. On )
36	9, 35	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. On -> ( (/) ^o C ) e. On )
37		om0r 7227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o C ) e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
39	34, 38	sylan9eq 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
40	39	an32s 818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
41		oe0m1 7209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
42	41	biimpa 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
43	42	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
44		oecl 7225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
45	9, 44	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
46		om0 7205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
48	43, 47	sylan9eqr 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
49	48	anassrs 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
50	40, 49	jaodan 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B \/ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
51	50	ex 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
52	31, 51	sylbird 243	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
53	52	imp 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
54	24, 53	eqtr4d 2488	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
55	16, 54	pm2.61dan 805	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
56		oveq1 6282	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o ( B +o C ) ) )
57		oveq1 6282	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
58		oveq1 6282	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
59	57, 58	oveq12d 6293	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
60	56, 59	eqeq12d 2466	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) ) )
61	55, 60	syl5ibr 229	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
62	61	impcom 436	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
63		oveq1 6282	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) )
64		oveq1 6282	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
65		oveq1 6282	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) )
66	64, 65	oveq12d 6293	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
67	63, 66	eqeq12d 2466	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
68	67	imbi2d 322	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
69		oveq1 6282	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( B +o C ) = ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) )
70	69	oveq2d 6291	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) )
71		oveq2 6283	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) )
72	71	oveq1d 6290	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2466	. . . . . . 7 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
74	73	imbi2d 322	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
75		eleq1 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
76		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
77	75, 76	anbi12d 722	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
78		eleq1 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
79		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
80	78, 79	anbi12d 722	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
81		1on 7175	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
82		0lt1o 7192	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
83	81, 82	pm3.2i 461	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
84	77, 80, 83	elimhyp 3906	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
85	84	simpli 464	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
86	84	simpri 468	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
87	81	elimel 3910	. . . . . . 7 |- if ( B e. On , B , 1o ) e. On
88	85, 86, 87	oeoalem 7283	. . . . . 6 |- ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
89	68, 74, 88	dedth2h 3900	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
90	89	impr 629	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
91	90	an32s 818	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
92	62, 91	oe0lem 7201	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
93	92	3impb 1206	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 986   = wceq 1447   e. wcel 1890   =/= wne 2621   (/)c0 3698   ifcif 3848   Oncon0 5401  (class class class)co 6275   1oc1o 7161   +o coa 7165   .o comu 7166   ^o coe 7167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-int 4204  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-1o 7168  df-2o 7169  df-oadd 7172  df-omul 7173  df-oexp 7174

This theorem is referenced by:  oeoelem  7285  infxpenc  8435