Theorem oeoa 7247

Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoa	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Proof of Theorem oeoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa00 7209	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) = (/) <-> ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
2	1	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( B +o C ) = (/) )
3	2	oveq2d 6301	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
4		oveq2 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
5		oveq2 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = ( (/) ^o (/) ) )
6		oe0m0 7171	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
7	5, 6	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = 1o )
8	4, 7	oveqan12d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) )
9		0elon 4931	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. On
10		oecl 7188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) ^o (/) ) e. On )
11	9, 9, 10	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
12		om1 7192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) ^o (/) ) e. On -> ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) )
14	8, 13	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
16	3, 15	eqtr4d 2511	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
17		oacl 7186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B +o C ) e. On )
18		on0eln0 4933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
20		oe0m1 7172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
21	17, 20	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
22	1	necon3abid 2713	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) =/= (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
23	19, 21, 22	3bitr3d 283	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
24	23	biimpar 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) )
25		on0eln0 4933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
27		on0eln0 4933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
29	26, 28	orbi12d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) ) )
30		neorian 2794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) )
31	29, 30	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
32		oe0m1 7172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
33	32	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
34	33	oveq1d 6300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) )
35		oecl 7188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o C ) e. On )
36	9, 35	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. On -> ( (/) ^o C ) e. On )
37		om0r 7190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o C ) e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
39	34, 38	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
40	39	an32s 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
41		oe0m1 7172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
42	41	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
43	42	oveq2d 6301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
44		oecl 7188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
45	9, 44	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
46		om0 7168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
48	43, 47	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
49	48	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
50	40, 49	jaodan 783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B \/ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
51	50	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
52	31, 51	sylbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
53	52	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
54	24, 53	eqtr4d 2511	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
55	16, 54	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
56		oveq1 6292	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o ( B +o C ) ) )
57		oveq1 6292	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
58		oveq1 6292	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
59	57, 58	oveq12d 6303	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
60	56, 59	eqeq12d 2489	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) ) )
61	55, 60	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
62	61	impcom 430	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
63		oveq1 6292	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) )
64		oveq1 6292	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
65		oveq1 6292	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) )
66	64, 65	oveq12d 6303	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
67	63, 66	eqeq12d 2489	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
68	67	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
69		oveq1 6292	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( B +o C ) = ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) )
70	69	oveq2d 6301	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) )
71		oveq2 6293	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) )
72	71	oveq1d 6300	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2489	. . . . . . 7 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
74	73	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
75		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
76		eleq2 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
77	75, 76	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
78		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
79		eleq2 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
80	78, 79	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
81		1on 7138	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
82		0lt1o 7155	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
83	81, 82	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
84	77, 80, 83	elimhyp 3998	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
85	84	simpli 458	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
86	84	simpri 462	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
87	81	elimel 4002	. . . . . . 7 |- if ( B e. On , B , 1o ) e. On
88	85, 86, 87	oeoalem 7246	. . . . . 6 |- ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
89	68, 74, 88	dedth2h 3992	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
90	89	impr 619	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
91	90	an32s 802	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
92	62, 91	oe0lem 7164	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
93	92	3impb 1192	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   (/)c0 3785   ifcif 3939   Oncon0 4878  (class class class)co 6285   1oc1o 7124   +o coa 7128   .o comu 7129   ^o coe 7130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-oexp 7137

This theorem is referenced by:  oeoelem  7248  infxpenc  8396  infxpencOLD  8401