Theorem oeoa 6799

Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoa	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Proof of Theorem oeoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa00 6761	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) = (/) <-> ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
2	1	biimpar 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( B +o C ) = (/) )
3	2	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
4		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
5		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = ( (/) ^o (/) ) )
6		oe0m0 6723	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
7	5, 6	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = 1o )
8	4, 7	oveqan12d 6059	. . . . . . . . 9 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) )
9		0elon 4594	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. On
10		oecl 6740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) ^o (/) ) e. On )
11	9, 9, 10	mp2an 654	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
12		om1 6744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) ^o (/) ) e. On -> ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) ) )
13	11, 12	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) )
14	8, 13	syl6eq 2452	. . . . . . . 8 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
15	14	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
16	3, 15	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
17		oacl 6738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B +o C ) e. On )
18		on0eln0 4596	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
20		oe0m1 6724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
21	17, 20	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
22	1	necon3abid 2600	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) =/= (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
23	19, 21, 22	3bitr3d 275	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
24	23	biimpar 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) )
25		on0eln0 4596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
26	25	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
27		on0eln0 4596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
28	27	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
29	26, 28	orbi12d 691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) ) )
30		neorian 2654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) )
31	29, 30	syl6bb 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
32		oe0m1 6724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
33	32	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
34	33	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) )
35		oecl 6740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o C ) e. On )
36	9, 35	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. On -> ( (/) ^o C ) e. On )
37		om0r 6742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o C ) e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
39	34, 38	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
40	39	an32s 780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
41		oe0m1 6724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
42	41	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
43	42	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
44		oecl 6740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
45	9, 44	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
46		om0 6720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
48	43, 47	sylan9eqr 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
49	48	anassrs 630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
50	40, 49	jaodan 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B \/ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
51	50	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
52	31, 51	sylbird 227	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
53	52	imp 419	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
54	24, 53	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
55	16, 54	pm2.61dan 767	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
56		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o ( B +o C ) ) )
57		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
58		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
59	57, 58	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
60	56, 59	eqeq12d 2418	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) ) )
61	55, 60	syl5ibr 213	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
62	61	impcom 420	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
63		oveq1 6047	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) )
64		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
65		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) )
66	64, 65	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
67	63, 66	eqeq12d 2418	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
68	67	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
69		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( B +o C ) = ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) )
70	69	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) )
71		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) )
72	71	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2418	. . . . . . 7 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
74	73	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
75		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
76		eleq2 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
77	75, 76	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
78		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
79		eleq2 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
80	78, 79	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
81		1on 6690	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
82		0lt1o 6707	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
83	81, 82	pm3.2i 442	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
84	77, 80, 83	elimhyp 3747	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
85	84	simpli 445	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
86	84	simpri 449	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
87	81	elimel 3751	. . . . . . 7 |- if ( B e. On , B , 1o ) e. On
88	85, 86, 87	oeoalem 6798	. . . . . 6 |- ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
89	68, 74, 88	dedth2h 3741	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
90	89	impr 603	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
91	90	an32s 780	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
92	62, 91	oe0lem 6716	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
93	92	3impb 1149	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   (/)c0 3588   ifcif 3699   Oncon0 4541  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   +o coa 6680   .o comu 6681   ^o coe 6682

This theorem is referenced by:  oeoelem  6800  infxpenc  7855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689