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Theorem oen0 7232
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oen0  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oen0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
21eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x
)  <->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
43eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  y ) ) )
5 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
65eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) )
7 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
87eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
9 0lt1o 7151 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
10 oe0 7169 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
119, 10syl5eleqr 2562 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  (/) ) )
13 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
14 oecl 7184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1513, 14jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On ) )
16 omordi 7212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
) ) )
17 om0 7164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  (/) )  =  (/) )
1817eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2016, 19sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2115, 20sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
22 oesuc 7174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2521, 24sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
2625exp31 604 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2726com12 31 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2827com34 83 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2928impd 431 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
30 0ellim 4940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
31 eqimss2 3557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  1o  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
3210, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
33 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3433sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( 1o  C_  ( A  ^o  y
)  <->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
3630, 32, 35syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
37 ssiun 4367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y
)  ->  1o  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
3938adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
40 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
41 oelim 7181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4240, 41mpanlr1 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4342anasss 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4443an12s 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4539, 44sseqtr4d 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_  ( A  ^o  x
) )
46 limelon 4941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
4740, 46mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
48 oecl 7184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
4948ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
5047, 49sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
51 eloni 4888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  x
) )
52 ordgt0ge1 7144 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  x
)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5350, 51, 523syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5453adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5545, 54mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) )
5756a1dd 46 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) ) )
582, 4, 6, 8, 12, 29, 57tfinds3 6677 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) ) )
5958expd 436 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6059com12 31 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6160imp31 432 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880  (class class class)co 6282   1oc1o 7120    .o comu 7125    ^o coe 7126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-oexp 7133
This theorem is referenced by:  oeordi  7233  oeordsuc  7240  oeoelem  7244  oelimcl  7246  oeeui  7248  cantnflt  8087  cantnfltOLD  8117  cnfcom  8140  cnfcomOLD  8148  infxpenc  8391  infxpenc2  8395  infxpencOLD  8396  infxpenc2OLD  8399
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