Theorem oen0 7284

Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oen0	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Proof of Theorem oen0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6296	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
2	1	eleq2d 2513	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o (/) ) ) )
3		oveq2 6296	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
4	3	eleq2d 2513	. . . . 5 |- ( x = y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o y ) ) )
5		oveq2 6296	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
6	5	eleq2d 2513	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
7		oveq2 6296	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
8	7	eleq2d 2513	. . . . 5 |- ( x = B -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o B ) ) )
9		0lt1o 7203	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		oe0 7221	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
11	9, 10	syl5eleqr 2535	. . . . . 6 |- ( A e. On -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
12	11	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
13		simpl 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> A e. On )
14		oecl 7236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
15	13, 14	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) )
16		omordi 7264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
17		om0 7216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) = (/) )
18	17	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
19	18	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
20	16, 19	sylibd 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
21	15, 20	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
22		oesuc 7226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
23	22	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
25	21, 24	sylibrd 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
26	25	exp31 608	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( y e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
27	26	com12 32	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
28	27	com34 86	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
29	28	impd 433	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) )
30		0ellim 5484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> (/) e. x )
31		eqimss2 3484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o (/) ) = 1o -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. On -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
33		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> ( A ^o y ) = ( A ^o (/) ) )
34	33	sseq2d 3459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( 1o C_ ( A ^o y ) <-> 1o C_ ( A ^o (/) ) ) )
35	34	rspcev 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. x /\ 1o C_ ( A ^o (/) ) ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
36	30, 32, 35	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
37		ssiun 4319	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
39	38	adantrr 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
40		vex 3047	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
41		oelim 7233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
42	40, 41	mpanlr1 691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
43	42	anasss 652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
44	43	an12s 809	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
45	39, 44	sseqtr4d 3468	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ ( A ^o x ) )
46		limelon 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
47	40, 46	mpan 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> x e. On )
48		oecl 7236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
49	48	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
50	47, 49	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
51		eloni 5432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^o x ) e. On -> Ord ( A ^o x ) )
52		ordgt0ge1 7196	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( A ^o x ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
53	50, 51, 52	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
54	53	adantrr 722	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
55	45, 54	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> (/) e. ( A ^o x ) )
56	55	ex 436	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) )
57	56	a1dd 47	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( A. y e. x (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) ) )
58	2, 4, 6, 8, 12, 29, 57	tfinds3 6688	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) ) )
59	58	expd 438	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
60	59	com12 32	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
61	60	imp31 434	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U_ciun 4277   Ord word 5421   Oncon0 5422   Lim wlim 5423   suc csuc 5424  (class class class)co 6288   1oc1o 7172   .o comu 7177   ^o coe 7178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-oexp 7185

This theorem is referenced by:  oeordi  7285  oeordsuc  7292  oeoelem  7296  oelimcl  7298  oeeui  7300  cantnflt  8174  cnfcom  8202  infxpenc  8446  infxpenc2  8450