MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oen0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oen0 7284
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oen0  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oen0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
21eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x
)  <->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
43eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  y ) ) )
5 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
65eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) )
7 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
87eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
9 0lt1o 7203 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
10 oe0 7221 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
119, 10syl5eleqr 2535 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) )
1211adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  (/) ) )
13 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
14 oecl 7236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1513, 14jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On ) )
16 omordi 7264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
) ) )
17 om0 7216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  (/) )  =  (/) )
1817eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
1918ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2016, 19sylibd 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2115, 20sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
22 oesuc 7226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2423adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2521, 24sylibrd 238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
2625exp31 608 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2726com12 32 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2827com34 86 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2928impd 433 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
30 0ellim 5484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
31 eqimss2 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  1o  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
33 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3433sseq2d 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( 1o  C_  ( A  ^o  y
)  <->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534rspcev 3149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
3630, 32, 35syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
37 ssiun 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y
)  ->  1o  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
3938adantrr 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
40 vex 3047 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
41 oelim 7233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4240, 41mpanlr1 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4342anasss 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4443an12s 809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4539, 44sseqtr4d 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_  ( A  ^o  x
) )
46 limelon 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
4740, 46mpan 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
48 oecl 7236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
4948ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
5047, 49sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
51 eloni 5432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  x
) )
52 ordgt0ge1 7196 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  x
)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5453adantrr 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5545, 54mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) )
5655ex 436 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) )
5756a1dd 47 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) ) )
582, 4, 6, 8, 12, 29, 57tfinds3 6688 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) ) )
5958expd 438 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6059com12 32 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6160imp31 434 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U_ciun 4277   Ord word 5421   Oncon0 5422   Lim wlim 5423   suc csuc 5424  (class class class)co 6288   1oc1o 7172    .o comu 7177    ^o coe 7178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-oexp 7185
This theorem is referenced by:  oeordi  7285  oeordsuc  7292  oeoelem  7296  oelimcl  7298  oeeui  7300  cantnflt  8174  cnfcom  8202  infxpenc  8446  infxpenc2  8450
  Copyright terms: Public domain W3C validator