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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oen0 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.) |
Ref | Expression |
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oen0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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2 | 1 | eleq2d 2513 |
. . . . 5
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3 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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4 | 3 | eleq2d 2513 |
. . . . 5
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5 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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6 | 5 | eleq2d 2513 |
. . . . 5
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7 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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8 | 7 | eleq2d 2513 |
. . . . 5
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9 | 0lt1o 7203 |
. . . . . . 7
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10 | oe0 7221 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | syl5eleqr 2535 |
. . . . . 6
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12 | 11 | adantr 467 |
. . . . 5
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13 | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | oecl 7236 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 13, 14 | jca 535 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | omordi 7264 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | om0 7216 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | 17 | eleq1d 2512 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | 18 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 16, 19 | sylibd 218 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 15, 20 | sylan 474 |
. . . . . . . . . 10
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22 | oesuc 7226 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | eleq2d 2513 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 21, 24 | sylibrd 238 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | exp31 608 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | com12 32 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | com34 86 |
. . . . . 6
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29 | 28 | impd 433 |
. . . . 5
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30 | 0ellim 5484 |
. . . . . . . . . . . 12
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31 | eqimss2 3484 |
. . . . . . . . . . . . 13
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32 | 10, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | oveq2 6296 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 33 | sseq2d 3459 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 34 | rspcev 3149 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 30, 32, 35 | syl2an 480 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | ssiun 4319 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | adantrr 722 |
. . . . . . . . 9
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40 | vex 3047 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | oelim 7233 |
. . . . . . . . . . . 12
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42 | 40, 41 | mpanlr1 691 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 42 | anasss 652 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | an12s 809 |
. . . . . . . . 9
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45 | 39, 44 | sseqtr4d 3468 |
. . . . . . . 8
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46 | limelon 5485 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 40, 46 | mpan 675 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | oecl 7236 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48 | ancoms 455 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 47, 49 | sylan 474 |
. . . . . . . . . 10
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51 | eloni 5432 |
. . . . . . . . . 10
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52 | ordgt0ge1 7196 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 50, 51, 52 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | adantrr 722 |
. . . . . . . 8
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55 | 45, 54 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ex 436 |
. . . . . 6
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57 | 56 | a1dd 47 |
. . . . 5
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58 | 2, 4, 6, 8, 12, 29, 57 | tfinds3 6688 |
. . . 4
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59 | 58 | expd 438 |
. . 3
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60 | 59 | com12 32 |
. 2
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61 | 60 | imp31 434 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-oadd 7183 df-omul 7184 df-oexp 7185 |
This theorem is referenced by: oeordi 7285 oeordsuc 7292 oeoelem 7296 oelimcl 7298 oeeui 7300 cantnflt 8174 cnfcom 8202 infxpenc 8446 infxpenc2 8450 |
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