MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Unicode version

Theorem oemapso 8113
Description: The relation  T is a strict order on  S (a corollary of wemapso2 7991). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
oemapso  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, y, z    x, S, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
2 eloni 4894 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordwe 4897 . . . . 5  |-  ( Ord 
B  ->  _E  We  B )
4 weso 4876 . . . . 5  |-  (  _E  We  B  ->  _E  Or  B )
51, 2, 3, 44syl 21 . . . 4  |-  ( ph  ->  _E  Or  B )
6 cnvso 5552 . . . 4  |-  (  _E  Or  B  <->  `'  _E  Or  B )
75, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  `'  _E  Or  B )
8 cantnfs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
9 eloni 4894 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
10 ordwe 4897 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
11 weso 4876 . . . 4  |-  (  _E  We  A  ->  _E  Or  A )
128, 9, 10, 114syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  _E  Or  A )
13 oemapval.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
14 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y `
 z )  e. 
_V
1514epelc 4799 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  z )  _E  ( y `  z )  <->  ( x `  z )  e.  ( y `  z ) )
16 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
17 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1816, 17brcnv 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w `'  _E  z  <->  z  _E  w )
19 epel 4800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  _E  w  <->  z  e.  w )
2018, 19bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( w `'  _E  z  <->  z  e.  w )
2120imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <-> 
( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )
2221ralbii 2898 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  B  (
w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )
2315, 22anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  ( ( x `
 z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) )
2423rexbii 2969 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  ( ( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
2524opabbii 4517 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2613, 25eqtr4i 2499 . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
27 breq1 4456 . . . . 5  |-  ( g  =  x  ->  (
g finSupp  (/)  <->  x finSupp  (/) ) )
2827cbvrabv 3117 . . . 4  |-  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
}  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) }
2926, 28wemapso2 7991 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  `'  _E  Or  B  /\  _E  Or  A )  ->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B
)  |  g finSupp  (/) } )
301, 7, 12, 29syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
} )
31 cantnfs.s . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
32 eqid 2467 . . . . 5  |-  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
}  =  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
}
3332, 8, 1cantnfdm 8093 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
} )
3431, 33syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
} )
35 soeq2 4826 . . 3  |-  ( S  =  { g  e.  ( A  ^m  B
)  |  g finSupp  (/) }  ->  ( T  Or  S  <->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/) } ) )
3634, 35syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  Or  S  <->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B
)  |  g finSupp  (/) } ) )
3730, 36mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   {copab 4510    _E cep 4795    Or wor 4805    We wwe 4843   Ord word 4883   Oncon0 4884   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   CNF ccnf 8090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-seqom 7125  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-cnf 8091
This theorem is referenced by:  cantnf  8124  cantnfOLD  8146
  Copyright terms: Public domain W3C validator