MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Unicode version

Theorem oemapso 7909
Description: The relation  T is a strict order on  S (a corollary of wemapso2 7787). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
oemapso  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, y, z    x, S, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
2 eloni 4748 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordwe 4751 . . . . 5  |-  ( Ord 
B  ->  _E  We  B )
4 weso 4730 . . . . 5  |-  (  _E  We  B  ->  _E  Or  B )
51, 2, 3, 44syl 21 . . . 4  |-  ( ph  ->  _E  Or  B )
6 cnvso 5395 . . . 4  |-  (  _E  Or  B  <->  `'  _E  Or  B )
75, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  `'  _E  Or  B )
8 cantnfs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
9 eloni 4748 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
10 ordwe 4751 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
11 weso 4730 . . . 4  |-  (  _E  We  A  ->  _E  Or  A )
128, 9, 10, 114syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  _E  Or  A )
13 oemapval.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
14 fvex 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( y `
 z )  e. 
_V
1514epelc 4653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  z )  _E  ( y `  z )  <->  ( x `  z )  e.  ( y `  z ) )
16 vex 2994 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
17 vex 2994 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1816, 17brcnv 5041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w `'  _E  z  <->  z  _E  w )
19 epel 4654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  _E  w  <->  z  e.  w )
2018, 19bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( w `'  _E  z  <->  z  e.  w )
2120imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <-> 
( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )
2221ralbii 2758 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  B  (
w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )
2315, 22anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  ( ( x `
 z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) )
2423rexbii 2759 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  ( ( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
2524opabbii 4375 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2613, 25eqtr4i 2466 . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( w `'  _E  z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
27 breq1 4314 . . . . 5  |-  ( g  =  x  ->  (
g finSupp  (/)  <->  x finSupp  (/) ) )
2827cbvrabv 2990 . . . 4  |-  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
}  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) }
2926, 28wemapso2 7787 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  `'  _E  Or  B  /\  _E  Or  A )  ->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B
)  |  g finSupp  (/) } )
301, 7, 12, 29syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
} )
31 cantnfs.s . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
32 eqid 2443 . . . . 5  |-  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
}  =  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
}
3332, 8, 1cantnfdm 7889 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
} )
3431, 33syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/)
} )
35 soeq2 4680 . . 3  |-  ( S  =  { g  e.  ( A  ^m  B
)  |  g finSupp  (/) }  ->  ( T  Or  S  <->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B )  |  g finSupp  (/) } ) )
3634, 35syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  Or  S  <->  T  Or  { g  e.  ( A  ^m  B
)  |  g finSupp  (/) } ) )
3730, 36mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735   {crab 2738   (/)c0 3656   class class class wbr 4311   {copab 4368    _E cep 4649    Or wor 4659    We wwe 4697   Ord word 4737   Oncon0 4738   `'ccnv 4858   dom cdm 4859   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    ^m cmap 7233   finSupp cfsupp 7639   CNF ccnf 7886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-seqom 6922  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-cnf 7887
This theorem is referenced by:  cantnf  7920  cantnfOLD  7942
  Copyright terms: Public domain W3C validator