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Theorem oelimcl 7239
Description: The ordinal exponential with a limit ordinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oelimcl  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oelimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3619 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
2 limelon 4934 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
3 oecl 7177 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
5 eloni 4881 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
71adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  A  e.  On )
82adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  B  e.  On )
9 dif20el 7145 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  (/)  e.  A )
11 oen0 7225 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
127, 8, 10, 11syl21anc 1222 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
13 oelim2 7234 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) )
141, 13sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) )
1514eleq2d 2530 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  ( A  ^o  B
)  <->  x  e.  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) ) )
16 eliun 4323 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  ( B  \  1o ) x  e.  ( A  ^o  y ) )
17 eldifi 3619 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  \  1o )  ->  y  e.  B )
187adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  A  e.  On )
198adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  B  e.  On )
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  y  e.  B
)
21 onelon 4896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  y  e.  On )
23 oecl 7177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
2418, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
25 eloni 4881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  y
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  Ord  ( A  ^o  y ) )
27 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  x  e.  ( A  ^o  y ) )
28 ordsucss 6624 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  y
)  ->  ( x  e.  ( A  ^o  y
)  ->  suc  x  C_  ( A  ^o  y
) ) )
2926, 27, 28sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  C_  ( A  ^o  y ) )
30 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
31 oeordi 7226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
3219, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
3320, 32mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B ) )
34 onelon 4896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  x  e.  On )
3524, 27, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  x  e.  On )
36 suceloni 6619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  e.  On )
384adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
39 ontr2 4918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  ( A  ^o  B
)  e.  On )  ->  ( ( suc  x  C_  ( A  ^o  y )  /\  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( ( suc  x  C_  ( A  ^o  y )  /\  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4129, 33, 40mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) )
4241expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4317, 42sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  y  e.  ( B  \  1o ) )  ->  (
x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4443rexlimdva 2948 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. y  e.  ( B  \  1o ) x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4516, 44syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e. 
U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
4615, 45sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  ( A  ^o  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
4746ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  A. x  e.  ( A  ^o  B ) suc  x  e.  ( A  ^o  B ) )
48 dflim4 6654 . 2  |-  ( Lim  ( A  ^o  B
)  <->  ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  B )  /\  A. x  e.  ( A  ^o  B ) suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
496, 12, 47, 48syl3anbrc 1175 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3466    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U_ciun 4318   Ord word 4870   Oncon0 4871   Lim wlim 4872   suc csuc 4873  (class class class)co 6275   1oc1o 7113   2oc2o 7114    ^o coe 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-oexp 7126
This theorem is referenced by:  oaabs2  7284  omabs  7286
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