MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem oelim2 7314
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Allowed substitution hint:   C( x)
Proof of Theorem oelim2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 5493 . . . . . 6 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
2 0ellim 5492 . . . . . . 7 |- ( Lim B -> (/) e. B )
32adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> (/) e. B )
4 oe0m1 7241 . . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
54biimpa 492 . . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
61, 3, 5syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
7 eldif 3400 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B \ 1o ) <-> ( x e. B /\ -. x e. 1o ) )
8 limord 5489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> Ord B )
9 ordelon 5454 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord B /\ x e. B ) -> x e. On )
108, 9sylan 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim B /\ x e. B ) -> x e. On )
11 on0eln0 5485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> x =/= (/) ) )
12 el1o 7219 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. 1o <-> x = (/) )
1312necon3bbii 2690 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. 1o <-> x =/= (/) )
1411, 13syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> -. x e. 1o ) )
15 oe0m1 7241 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1615biimpd 212 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1714, 16sylbird 243 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim B /\ x e. B ) -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1918impr 631 . . . . . . . . 9 |- ( ( Lim B /\ ( x e. B /\ -. x e. 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
207, 19sylan2b 483 . . . . . . . 8 |- ( ( Lim B /\ x e. ( B \ 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
2120iuneq2dv 4291 . . . . . . 7 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) (/) )
22 df-1o 7200 . . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
23 limsuc 6695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> ( (/) e. B <-> suc (/) e. B ) )
242, 23mpbid 215 . . . . . . . . . . 11 |- ( Lim B -> suc (/) e. B )
2522, 24syl5eqel 2553 . . . . . . . . . 10 |- ( Lim B -> 1o e. B )
26 1on 7207 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. On
2726onirri 5536 . . . . . . . . . 10 |- -. 1o e. 1o
2825, 27jctir 547 . . . . . . . . 9 |- ( Lim B -> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
29 eldif 3400 . . . . . . . . 9 |- ( 1o e. ( B \ 1o ) <-> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
3028, 29sylibr 217 . . . . . . . 8 |- ( Lim B -> 1o e. ( B \ 1o ) )
31 ne0i 3728 . . . . . . . 8 |- ( 1o e. ( B \ 1o ) -> ( B \ 1o ) =/= (/) )
32 iunconst 4278 . . . . . . . 8 |- ( ( B \ 1o ) =/= (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
3421, 33eqtrd 2505 . . . . . 6 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
3534adantl 473 . . . . 5 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
366, 35eqtr4d 2508 . . . 4 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
37 oveq1 6315 . . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
38 oveq1 6315 . . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o x ) = ( (/) ^o x ) )
3938iuneq2d 4296 . . . . 5 |- ( A = (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
4037, 39eqeq12d 2486 . . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) <-> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) ) )
4136, 40syl5ibr 229 . . 3 |- ( A = (/) -> ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) ) )
4241impcom 437 . 2 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
43 oelim 7254 . . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ y e. B ( A ^o y ) )
44 limsuc 6695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim B -> ( y e. B <-> suc y e. B ) )
4544biimpa 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. B )
46 nsuceq0 5510 . . . . . . . . . . . . 13 |- suc y =/= (/)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y =/= (/) )
48 dif1o 7220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. ( B \ 1o ) <-> ( suc y e. B /\ suc y =/= (/) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. ( B \ 1o ) )
5049ex 441 . . . . . . . . . 10 |- ( Lim B -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
5150ad2antlr 741 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
52 sssucid 5507 . . . . . . . . . . 11 |- y C_ suc y
53 ordelon 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord B /\ y e. B ) -> y e. On )
548, 53sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> y e. On )
55 suceloni 6659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> suc y e. On )
5654, 55jccir 548 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On ) )
57 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
58573expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. On /\ suc y e. On ) /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
5958ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ ( y e. On /\ suc y e. On ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
6056, 59sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ ( Lim B /\ y e. B ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
6160anassrs 660 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
62 oewordi 7310 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6361, 62sylan 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6463an32s 821 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6552, 64mpi 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) )
6665ex 441 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6751, 66jcad 542 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) ) )
68 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
6968sseq2d 3446 . . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) <-> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
7069rspcev 3136 . . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
7167, 70syl6 33 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) ) )
7271ralrimiv 2808 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
73 iunss2 4314 . . . . . 6 |- ( A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
7472, 73syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
75 difss 3549 . . . . . . . 8 |- ( B \ 1o ) C_ B
76 iunss1 4281 . . . . . . . 8 |- ( ( B \ 1o ) C_ B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x )
78 oveq2 6316 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
7978cbviunv 4308 . . . . . . 7 |- U_ x e. B ( A ^o x ) = U_ y e. B ( A ^o y )
8077, 79sseqtri 3450 . . . . . 6 |- U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y )
8180a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y ) )
8274, 81eqssd 3435 . . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
8382adantlrl 734 . . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
8443, 83eqtrd 2505 . 2 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
8542, 84oe0lem 7233 1 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U_ciun 4269   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432  (class class class)co 6308   1oc1o 7193   ^o coe 7199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-oexp 7206
This theorem is referenced by:  oelimcl  7319  oaabs2  7364  omabs  7366
  Copyright terms: Public domain W3C validator