Theorem oelim2 5270

Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250.

Assertion

Ref	Expression
oelim2	|- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (A ^o B) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem oelim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o B) = ((/) ^o B))
2		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (A = (/) -> (A ^o x) = ((/) ^o x))
3	2	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A = (/) /\ x e. (B \ 1o)) -> (A ^o x) = ((/) ^o x))
4	3	iuneq2dv 3279	. . . . 5 |- (A = (/) -> U_x e. (B \ 1o)(A ^o x) = U_x e. (B \ 1o)((/) ^o x))
5	1, 4	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (A = (/) -> ((A ^o B) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x) <-> ((/) ^o B) = U_x e. (B \ 1o)((/) ^o x)))
6		limelon 3727	. . . . . 6 |- ((B e. C /\ Lim B) -> B e. On)
7		0ellim 3726	. . . . . . 7 |- (Lim B -> (/) e. B)
8	7	adantl 424	. . . . . 6 |- ((B e. C /\ Lim B) -> (/) e. B)
9		oe0m1 5205	. . . . . . 7 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> ((/) ^o B) = (/)))
10	9	biimpa 460	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) = (/))
11	6, 8, 10	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((B e. C /\ Lim B) -> ((/) ^o B) = (/))
12		ordelon 3682	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord B /\ x e. B) -> x e. On)
13		limord 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim B -> Ord B)
14	12, 13	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((Lim B /\ x e. B) -> x e. On)
15		on0eln0 3718	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> ((/) e. x <-> x =/= (/)))
16		el1o 5191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. 1o <-> x = (/))
17	16	necon3bbii 2031	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x e. 1o <-> x =/= (/))
18	15, 17	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> ((/) e. x <-> -. x e. 1o))
19		oe0m1 5205	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> ((/) e. x <-> ((/) ^o x) = (/)))
20	19	biimpd 170	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> ((/) e. x -> ((/) ^o x) = (/)))
21	18, 20	sylbird 222	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (-. x e. 1o -> ((/) ^o x) = (/)))
22	14, 21	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim B /\ x e. B) -> (-. x e. 1o -> ((/) ^o x) = (/)))
23	22	impr 422	. . . . . . . . 9 |- ((Lim B /\ (x e. B /\ -. x e. 1o)) -> ((/) ^o x) = (/))
24		eldif 2609	. . . . . . . . 9 |- (x e. (B \ 1o) <-> (x e. B /\ -. x e. 1o))
25	23, 24	sylan2b 501	. . . . . . . 8 |- ((Lim B /\ x e. (B \ 1o)) -> ((/) ^o x) = (/))
26	25	iuneq2dv 3279	. . . . . . 7 |- (Lim B -> U_x e. (B \ 1o)((/) ^o x) = U_x e. (B \ 1o)(/))
27		limsuc 3933	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim B -> ((/) e. B <-> suc (/) e. B))
28	7, 27	mpbid 212	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim B -> suc (/) e. B)
29		df-1o 5177	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
30	28, 29	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . 10 |- (Lim B -> 1o e. B)
31		1on 5182	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. On
32	31	onirri 3776	. . . . . . . . . 10 |- -. 1o e. 1o
33	30, 32	jctir 317	. . . . . . . . 9 |- (Lim B -> (1o e. B /\ -. 1o e. 1o))
34		eldif 2609	. . . . . . . . 9 |- (1o e. (B \ 1o) <-> (1o e. B /\ -. 1o e. 1o))
35	33, 34	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- (Lim B -> 1o e. (B \ 1o))
36		ne0i 2881	. . . . . . . 8 |- (1o e. (B \ 1o) -> (B \ 1o) =/= (/))
37		iunconst 3262	. . . . . . . 8 |- ((B \ 1o) =/= (/) -> U_x e. (B \ 1o)(/) = (/))
38	35, 36, 37	3syl 24	. . . . . . 7 |- (Lim B -> U_x e. (B \ 1o)(/) = (/))
39	26, 38	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (Lim B -> U_x e. (B \ 1o)((/) ^o x) = (/))
40	39	adantl 424	. . . . 5 |- ((B e. C /\ Lim B) -> U_x e. (B \ 1o)((/) ^o x) = (/))
41	11, 40	eqtr4d 1928	. . . 4 |- ((B e. C /\ Lim B) -> ((/) ^o B) = U_x e. (B \ 1o)((/) ^o x))
42	5, 41	syl5bir 227	. . 3 |- (A = (/) -> ((B e. C /\ Lim B) -> (A ^o B) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x)))
43	42	impcom 378	. 2 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ A = (/)) -> (A ^o B) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))
44		oelim 5214	. . 3 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = U_y e. B (A ^o y))
45		limsuc 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Lim B -> (y e. B <-> suc y e. B))
46	45	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Lim B /\ y e. B) -> suc y e. B)
47		nsuceq0 3749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc y =/= (/)
48		el1o 5191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (suc y e. 1o <-> suc y = (/))
49	47, 48	nemtbir 2099	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. suc y e. 1o
50	46, 49	jctir 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim B /\ y e. B) -> (suc y e. B /\ -. suc y e. 1o))
51		eldif 2609	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc y e. (B \ 1o) <-> (suc y e. B /\ -. suc y e. 1o))
52	50, 51	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ((Lim B /\ y e. B) -> suc y e. (B \ 1o))
53	52	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (Lim B -> (y e. B -> suc y e. (B \ 1o)))
54	53	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> (y e. B -> suc y e. (B \ 1o)))
55		sssucid 3742	. . . . . . . . . . 11 |- y C_ suc y
56		oewordi 5266	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (y C_ suc y -> (A ^o y) C_ (A ^o suc y)))
57		id 73	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On) -> (y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On))
58	57	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. On /\ suc y e. On) /\ A e. On) -> (y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On))
59	58	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. On /\ (y e. On /\ suc y e. On)) -> (y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On))
60		ordelon 3682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((Ord B /\ y e. B) -> y e. On)
61	60, 13	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Lim B /\ y e. B) -> y e. On)
62		suceloni 3894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. On -> suc y e. On)
63	62	ancli 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. On -> (y e. On /\ suc y e. On))
64	61, 63	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Lim B /\ y e. B) -> (y e. On /\ suc y e. On))
65	59, 64	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. On /\ (Lim B /\ y e. B)) -> (y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On))
66	65	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ y e. B) -> (y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On))
67	56, 66	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. On /\ Lim B) /\ y e. B) /\ (/) e. A) -> (y C_ suc y -> (A ^o y) C_ (A ^o suc y)))
68	67	an1rs 547	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) /\ y e. B) -> (y C_ suc y -> (A ^o y) C_ (A ^o suc y)))
69	55, 68	mpi 55	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) /\ y e. B) -> (A ^o y) C_ (A ^o suc y))
70	69	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> (y e. B -> (A ^o y) C_ (A ^o suc y)))
71	54, 70	jcad 661	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> (y e. B -> (suc y e. (B \ 1o) /\ (A ^o y) C_ (A ^o suc y))))
72		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = suc y -> (A ^o x) = (A ^o suc y))
73	72	sseq2d 2645	. . . . . . . . 9 |- (x = suc y -> ((A ^o y) C_ (A ^o x) <-> (A ^o y) C_ (A ^o suc y)))
74	73	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((suc y e. (B \ 1o) /\ (A ^o y) C_ (A ^o suc y)) -> E.x e. (B \ 1o)(A ^o y) C_ (A ^o x))
75	71, 74	syl6 25	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> (y e. B -> E.x e. (B \ 1o)(A ^o y) C_ (A ^o x)))
76	75	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> A.y e. B E.x e. (B \ 1o)(A ^o y) C_ (A ^o x))
77		iunss2 3298	. . . . . 6 |- (A.y e. B E.x e. (B \ 1o)(A ^o y) C_ (A ^o x) -> U_y e. B (A ^o y) C_ U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))
78	76, 77	syl 12	. . . . 5 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> U_y e. B (A ^o y) C_ U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))
79		difss 2735	. . . . . . . 8 |- (B \ 1o) C_ B
80		iunss1 3266	. . . . . . . 8 |- ((B \ 1o) C_ B -> U_x e. (B \ 1o)(A ^o x) C_ U_x e. B (A ^o x))
81	79, 80	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- U_x e. (B \ 1o)(A ^o x) C_ U_x e. B (A ^o x)
82		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (A ^o x) = (A ^o y))
83	82	cbviunv 3290	. . . . . . 7 |- U_x e. B (A ^o x) = U_y e. B (A ^o y)
84	81, 83	sseqtri 2649	. . . . . 6 |- U_x e. (B \ 1o)(A ^o x) C_ U_y e. B (A ^o y)
85	84	a1i 8	. . . . 5 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> U_x e. (B \ 1o)(A ^o x) C_ U_y e. B (A ^o y))
86	78, 85	eqssd 2633	. . . 4 |- (((A e. On /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> U_y e. B (A ^o y) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))
87	86	adantlrl 434	. . 3 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> U_y e. B (A ^o y) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))
88	44, 87	eqtrd 1925	. 2 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))
89	43, 88	oe0lem 5197	1 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (A ^o B) = U_x e. (B \ 1o)(A ^o x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U_ciun 3255  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   ^o coe 5176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-oexp 5181

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