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Theorem oelim2 7246
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 5443 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 0ellim 5442 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
32adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  (/)  e.  B
)
4 oe0m1 7173 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
54biimpa 486 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( (/)  ^o  B )  =  (/) )
61, 3, 5syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  =  (/) )
7 eldif 3384 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  1o )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )
8 limord 5439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  Ord  B )
9 ordelon 5404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
108, 9sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
11 on0eln0 5435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  x  =/=  (/) ) )
12 el1o 7151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
1312necon3bbii 2643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  1o  <->  x  =/=  (/) )
1411, 13syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  -.  x  e.  1o ) )
15 oe0m1 7173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1615biimpd 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) ) )
1714, 16sylbird 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1918impr 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  B  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
207, 19sylan2b 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  ( B  \  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
2120iuneq2dv 4259 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/) )
22 df-1o 7132 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  suc  (/)
23 limsuc 6629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  suc  (/)  e.  B ) )
242, 23mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
B  ->  suc  (/)  e.  B
)
2522, 24syl5eqel 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  B )
26 1on 7139 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
2726onirri 5486 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1o  e.  1o
2825, 27jctir 540 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
B  ->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
29 eldif 3384 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  <->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
3028, 29sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  ( B  \  1o ) )
31 ne0i 3705 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  ->  ( B 
\  1o )  =/=  (/) )
32 iunconst 4246 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3421, 33eqtrd 2457 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
3534adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
366, 35eqtr4d 2460 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) )
37 oveq1 6251 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
38 oveq1 6251 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
3938iuneq2d 4264 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x ) )
4037, 39eqeq12d 2438 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) ) )
4136, 40syl5ibr 224 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( A  ^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x
) ) )
4241impcom 431 . 2  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
43 oelim 7186 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y ) )
44 limsuc 6629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  <->  suc  y  e.  B
) )
4544biimpa 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  B )
46 nsuceq0 5460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  =/=  (/)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  =/=  (/) )
48 dif1o 7152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  ( B 
\  1o )  <->  ( suc  y  e.  B  /\  suc  y  =/=  (/) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) )
5049ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
5150ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
52 sssucid 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  suc  y
53 ordelon 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
548, 53sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
55 suceloni 6593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
5654, 55jccir 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
57 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
58573expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
5958ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On ) )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6056, 59sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6160anassrs 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
62 oewordi 7242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  C_  suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6361, 62sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  y  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  C_ 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6463an32s 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  suc  y  -> 
( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6552, 64mpi 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) )
6665ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6751, 66jcad 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
68 oveq2 6252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
6968sseq2d 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
7069rspcev 3120 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x ) )
7167, 70syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  x ) ) )
7271ralrimiv 2772 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) 
C_  ( A  ^o  x ) )
73 iunss2 4282 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x
)  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
7472, 73syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
75 difss 3530 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  1o )  C_  B
76 iunss1 4249 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o ) 
C_  B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )
78 oveq2 6252 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
7978cbviunv 4276 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8077, 79sseqtri 3434 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8180a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) 
C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
) )
8274, 81eqssd 3419 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8382adantlrl 724 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8443, 83eqtrd 2457 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8542, 84oe0lem 7165 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710    \ cdif 3371    C_ wss 3374   (/)c0 3699   U_ciun 4237   Ord word 5379   Oncon0 5380   Lim wlim 5381   suc csuc 5382  (class class class)co 6244   1oc1o 7125    ^o coe 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-oexp 7138
This theorem is referenced by:  oelimcl  7251  oaabs2  7296  omabs  7298
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