Theorem oelim2 7262

Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oelim2	|- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem oelim2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 4950	. . . . . 6 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
2		0ellim 4949	. . . . . . 7 |- ( Lim B -> (/) e. B )
3	2	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> (/) e. B )
4		oe0m1 7189	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
5	4	biimpa 484	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
6	1, 3, 5	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
7		eldif 3481	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B \ 1o ) <-> ( x e. B /\ -. x e. 1o ) )
8		limord 4946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> Ord B )
9		ordelon 4911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord B /\ x e. B ) -> x e. On )
10	8, 9	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim B /\ x e. B ) -> x e. On )
11		on0eln0 4942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> x =/= (/) ) )
12		el1o 7167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. 1o <-> x = (/) )
13	12	necon3bbii 2718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. 1o <-> x =/= (/) )
14	11, 13	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> -. x e. 1o ) )
15		oe0m1 7189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
16	15	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
17	14, 16	sylbird 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
18	10, 17	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim B /\ x e. B ) -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
19	18	impr 619	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim B /\ ( x e. B /\ -. x e. 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
20	7, 19	sylan2b 475	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim B /\ x e. ( B \ 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
21	20	iuneq2dv 4354	. . . . . . 7 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) (/) )
22		df-1o 7148	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
23		limsuc 6683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> ( (/) e. B <-> suc (/) e. B ) )
24	2, 23	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim B -> suc (/) e. B )
25	22, 24	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim B -> 1o e. B )
26		1on 7155	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. On
27	26	onirri 4993	. . . . . . . . . 10 |- -. 1o e. 1o
28	25, 27	jctir 538	. . . . . . . . 9 |- ( Lim B -> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
29		eldif 3481	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. ( B \ 1o ) <-> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( Lim B -> 1o e. ( B \ 1o ) )
31		ne0i 3799	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. ( B \ 1o ) -> ( B \ 1o ) =/= (/) )
32		iunconst 4341	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ 1o ) =/= (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
33	30, 31, 32	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
34	21, 33	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
35	34	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
36	6, 35	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
37		oveq1 6303	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
38		oveq1 6303	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o x ) = ( (/) ^o x ) )
39	38	iuneq2d 4359	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
40	37, 39	eqeq12d 2479	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) <-> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) ) )
41	36, 40	syl5ibr 221	. . 3 |- ( A = (/) -> ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) ) )
42	41	impcom 430	. 2 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
43		oelim 7202	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ y e. B ( A ^o y ) )
44		limsuc 6683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim B -> ( y e. B <-> suc y e. B ) )
45	44	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. B )
46		nsuceq0 4967	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc y =/= (/)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y =/= (/) )
48		dif1o 7168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. ( B \ 1o ) <-> ( suc y e. B /\ suc y =/= (/) ) )
49	45, 47, 48	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. ( B \ 1o ) )
50	49	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim B -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
51	50	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
52		sssucid 4964	. . . . . . . . . . 11 |- y C_ suc y
53		ordelon 4911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord B /\ y e. B ) -> y e. On )
54	8, 53	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> y e. On )
55		suceloni 6647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> suc y e. On )
56	54, 55	jccir 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On ) )
57		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
58	57	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. On /\ suc y e. On ) /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
59	58	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ ( y e. On /\ suc y e. On ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
60	56, 59	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ ( Lim B /\ y e. B ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
61	60	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
62		oewordi 7258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
63	61, 62	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
64	63	an32s 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
65	52, 64	mpi 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) )
66	65	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
67	51, 66	jcad 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) ) )
68		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
69	68	sseq2d 3527	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) <-> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
70	69	rspcev 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
71	67, 70	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) ) )
72	71	ralrimiv 2869	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
73		iunss2 4377	. . . . . 6 |- ( A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
75		difss 3627	. . . . . . . 8 |- ( B \ 1o ) C_ B
76		iunss1 4344	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ 1o ) C_ B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x )
78		oveq2 6304	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
79	78	cbviunv 4371	. . . . . . 7 |- U_ x e. B ( A ^o x ) = U_ y e. B ( A ^o y )
80	77, 79	sseqtri 3531	. . . . . 6 |- U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y )
81	80	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y ) )
82	74, 81	eqssd 3516	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
83	82	adantlrl 719	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
84	43, 83	eqtrd 2498	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
85	42, 84	oe0lem 7181	1 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   \ cdif 3468   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U_ciun 4332   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889  (class class class)co 6296   1oc1o 7141   ^o coe 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154

This theorem is referenced by:  oelimcl  7267  oaabs2  7312  omabs  7314