Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oef1oOLD Structured version   Unicode version

Theorem oef1oOLD 8142
 Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption can be discharged using fveqf1o 6193.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of oef1o 8141 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1oOLD.f
oef1oOLD.g
oef1oOLD.a
oef1oOLD.b
oef1oOLD.c
oef1oOLD.d
oef1oOLD.z
oef1oOLD.k
oef1oOLD.h CNF CNF
Assertion
Ref Expression
oef1oOLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem oef1oOLD
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5 CNF CNF
2 oef1oOLD.c . . . . 5
3 oef1oOLD.d . . . . 5
41, 2, 3cantnff1o 8137 . . . 4 CNF CNF
5 df1o2 7142 . . . . . . . . . . . . 13
65difeq2i 3619 . . . . . . . . . . . 12
76imaeq2i 5335 . . . . . . . . . . 11
87eleq1i 2544 . . . . . . . . . 10
98a1i 11 . . . . . . . . 9
109rabbiia 3102 . . . . . . . 8
11 eqid 2467 . . . . . . . 8
12 eqid 2467 . . . . . . . 8
13 oef1oOLD.g . . . . . . . . 9
14 f1ocnv 5828 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 oef1oOLD.f . . . . . . . 8
17 ssv 3524 . . . . . . . . 9
18 oef1oOLD.b . . . . . . . . 9
1917, 18sseldi 3502 . . . . . . . 8
20 oef1oOLD.a . . . . . . . . . 10
2120eldifad 3488 . . . . . . . . 9
2217, 21sseldi 3502 . . . . . . . 8
2317, 3sseldi 3502 . . . . . . . 8
2417, 2sseldi 3502 . . . . . . . 8
25 ondif1 7151 . . . . . . . . . 10
2625simprbi 464 . . . . . . . . 9
2720, 26syl 16 . . . . . . . 8
2810, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 27mapfienOLD 8138 . . . . . . 7
29 oef1oOLD.k . . . . . . . 8
30 f1oeq1 5807 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7
3228, 31sylibr 212 . . . . . 6
33 eqid 2467 . . . . . . . . 9
3433, 2, 3cantnfdmOLD 8083 . . . . . . . 8 CNF
35 oef1oOLD.z . . . . . . . . . . . . . 14
3635sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . 13
3736, 5syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . 12
3837difeq2d 3622 . . . . . . . . . . 11
3938imaeq2d 5337 . . . . . . . . . 10
4039eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
4140rabbidv 3105 . . . . . . . 8
4234, 41eqtr4d 2511 . . . . . . 7 CNF
43 f1oeq3 5809 . . . . . . 7 CNF CNF
4442, 43syl 16 . . . . . 6 CNF
4532, 44mpbird 232 . . . . 5 CNF
46 eqid 2467 . . . . . . 7
4746, 21, 18cantnfdmOLD 8083 . . . . . 6 CNF
48 f1oeq2 5808 . . . . . 6 CNF CNF CNF CNF
4947, 48syl 16 . . . . 5 CNF CNF CNF
5045, 49mpbird 232 . . . 4 CNF CNF
51 f1oco 5838 . . . 4 CNF CNF CNF CNF CNF CNF
524, 50, 51syl2anc 661 . . 3 CNF CNF
53 eqid 2467 . . . . 5 CNF CNF
5453, 21, 18cantnff1o 8137 . . . 4 CNF CNF
55 f1ocnv 5828 . . . 4 CNF CNF CNF CNF
5654, 55syl 16 . . 3 CNF CNF
57 f1oco 5838 . . 3 CNF CNF CNF CNF CNF CNF
5852, 56, 57syl2anc 661 . 2 CNF CNF
59 oef1oOLD.h . . 3 CNF CNF
60 f1oeq1 5807 . . 3 CNF CNF CNF CNF
6159, 60ax-mp 5 . 2 CNF CNF
6258, 61sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473  c0 3785  csn 4027   cmpt 4505  con0 4878  ccnv 4998   cdm 4999  cima 5002   ccom 5003  wf1o 5587  cfv 5588  (class class class)co 6284  c1o 7123   coe 7129   cmap 7420  cfn 7516   CNF ccnf 8078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-seqom 7113  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-cnf 8079 This theorem is referenced by:  infxpencOLD  8400
 Copyright terms: Public domain W3C validator