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Theorem oef1oOLD 7936
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption 
( F `  (/) )  =  (/) can be discharged using fveqf1o 6005.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of oef1o 7935 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1oOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
oef1oOLD.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
oef1oOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
oef1oOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oef1oOLD.c  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
oef1oOLD.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
oef1oOLD.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
oef1oOLD.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
oef1oOLD.h  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
Assertion
Ref Expression
oef1oOLD  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    x, F, y    x, G, y
Allowed substitution hints:    H( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem oef1oOLD
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  dom  ( C CNF  D )  =  dom  ( C CNF  D )
2 oef1oOLD.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 oef1oOLD.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
41, 2, 3cantnff1o 7931 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
5 df1o2 6937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  =  { (/) }
65difeq2i 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
76imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )
87eleq1i 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin )
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  ^m  B )  ->  (
( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin )
)
109rabbiia 2966 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }
12 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( F `  (/) )
13 oef1oOLD.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
14 f1ocnv 5658 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
16 oef1oOLD.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
17 ssv 3381 . . . . . . . . 9  |-  On  C_  _V
18 oef1oOLD.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
1917, 18sseldi 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
20 oef1oOLD.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
2120eldifad 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2217, 21sseldi 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2317, 3sseldi 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
2417, 2sseldi 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
25 ondif1 6946 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  <->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
2625simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  A
)
2720, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2810, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 27mapfienOLD 7932 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
29 oef1oOLD.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
30 f1oeq1 5637 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  ( y  e. 
{ x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )  -> 
( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
3228, 31sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
33 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
3433, 2, 3cantnfdmOLD 7877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
35 oef1oOLD.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
3635sneqd 3894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  { (/)
} )
3736, 5syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  1o )
3837difeq2d 3479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( F `  (/) ) } )  =  ( _V 
\  1o ) )
3938imaeq2d 5174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  =  ( `' x " ( _V 
\  1o ) ) )
4039eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) )
4140rabbidv 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
4234, 41eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }
)
43 f1oeq3 5639 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( C CNF  D )  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4532, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
46 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
4746, 21, 18cantnfdmOLD 7877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
48 f1oeq2 5638 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A CNF  B )  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
5045, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
51 f1oco 5668 . . . 4  |-  ( ( ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D ) )  ->  ( ( C CNF  D )  o.  K
) : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
524, 50, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
53 eqid 2443 . . . . 5  |-  dom  ( A CNF  B )  =  dom  ( A CNF  B )
5453, 21, 18cantnff1o 7931 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
55 f1ocnv 5658 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF  B
)
-1-1-onto-> ( A  ^o  B )  ->  `' ( A CNF 
B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
5654, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( A CNF  B
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
57 f1oco 5668 . . 3  |-  ( ( ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  `' ( A CNF  B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )  ->  ( (
( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B
) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
5852, 56, 57syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
59 oef1oOLD.h . . 3  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
60 f1oeq1 5637 . . 3  |-  ( H  =  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
)  ->  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) ) )
6159, 60ax-mp 5 . 2  |-  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
6258, 61sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   (/)c0 3642   {csn 3882    e. cmpt 4355   Oncon0 4724   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848    o. ccom 4849   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   1oc1o 6918    ^o coe 6924    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   CNF ccnf 7872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-seqom 6908  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-oexp 6931  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-cnf 7873
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