MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oef1oOLD Structured version   Unicode version

Theorem oef1oOLD 8142
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption 
( F `  (/) )  =  (/) can be discharged using fveqf1o 6193.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of oef1o 8141 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1oOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
oef1oOLD.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
oef1oOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
oef1oOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oef1oOLD.c  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
oef1oOLD.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
oef1oOLD.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
oef1oOLD.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
oef1oOLD.h  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
Assertion
Ref Expression
oef1oOLD  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    x, F, y    x, G, y
Allowed substitution hints:    H( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem oef1oOLD
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  dom  ( C CNF  D )  =  dom  ( C CNF  D )
2 oef1oOLD.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 oef1oOLD.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
41, 2, 3cantnff1o 8137 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
5 df1o2 7142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  =  { (/) }
65difeq2i 3619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
76imaeq2i 5335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )
87eleq1i 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin )
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  ^m  B )  ->  (
( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin )
)
109rabbiia 3102 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
11 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }
12 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( F `  (/) )
13 oef1oOLD.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
14 f1ocnv 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
16 oef1oOLD.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
17 ssv 3524 . . . . . . . . 9  |-  On  C_  _V
18 oef1oOLD.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
1917, 18sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
20 oef1oOLD.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
2120eldifad 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2217, 21sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2317, 3sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
2417, 2sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
25 ondif1 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  <->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
2625simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  A
)
2720, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2810, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 27mapfienOLD 8138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
29 oef1oOLD.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
30 f1oeq1 5807 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  ( y  e. 
{ x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )  -> 
( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
3228, 31sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
33 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
3433, 2, 3cantnfdmOLD 8083 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
35 oef1oOLD.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
3635sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  { (/)
} )
3736, 5syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  1o )
3837difeq2d 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( F `  (/) ) } )  =  ( _V 
\  1o ) )
3938imaeq2d 5337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  =  ( `' x " ( _V 
\  1o ) ) )
4039eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) )
4140rabbidv 3105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
4234, 41eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }
)
43 f1oeq3 5809 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( C CNF  D )  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4532, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
46 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
4746, 21, 18cantnfdmOLD 8083 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
48 f1oeq2 5808 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A CNF  B )  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
5045, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
51 f1oco 5838 . . . 4  |-  ( ( ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D ) )  ->  ( ( C CNF  D )  o.  K
) : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
524, 50, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
53 eqid 2467 . . . . 5  |-  dom  ( A CNF  B )  =  dom  ( A CNF  B )
5453, 21, 18cantnff1o 8137 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
55 f1ocnv 5828 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF  B
)
-1-1-onto-> ( A  ^o  B )  ->  `' ( A CNF 
B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
5654, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( A CNF  B
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
57 f1oco 5838 . . 3  |-  ( ( ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  `' ( A CNF  B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )  ->  ( (
( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B
) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
5852, 56, 57syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
59 oef1oOLD.h . . 3  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
60 f1oeq1 5807 . . 3  |-  ( H  =  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
)  ->  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) ) )
6159, 60ax-mp 5 . 2  |-  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
6258, 61sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    o. ccom 5003   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1oc1o 7123    ^o coe 7129    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   CNF ccnf 8078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-seqom 7113  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-cnf 8079
This theorem is referenced by:  infxpencOLD  8400
  Copyright terms: Public domain W3C validator