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Theorem oef1o 8228
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption 
( F `  (/) )  =  (/) can be discharged using fveqf1o 6224.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1o.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
oef1o.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
oef1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
oef1o.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oef1o.c  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
oef1o.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
oef1o.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
oef1o.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' G ) ) )
oef1o.h  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
Assertion
Ref Expression
oef1o  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    x, F, y    x, G, y
Allowed substitution hints:    H( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem oef1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2461 . . . . 5  |-  dom  ( C CNF  D )  =  dom  ( C CNF  D )
2 oef1o.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 oef1o.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
41, 2, 3cantnff1o 8226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
5 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }
6 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  x finSupp  ( F `  (/) ) }  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  x finSupp  ( F `  (/) ) }
7 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( F `  (/) )
8 oef1o.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
9 f1ocnv 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
108, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
11 oef1o.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
12 ssv 3463 . . . . . . . . 9  |-  On  C_  _V
13 oef1o.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
1412, 13sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
15 oef1o.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
1615eldifad 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
1712, 16sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1812, 3sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
1912, 2sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
20 ondif1 7228 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  <->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
2120simprbi 470 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  A
)
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
235, 6, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 22mapfien 7946 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' G ) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } )
24 oef1o.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' G ) ) )
25 f1oeq1 5827 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  ( y  e. 
{ x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' G ) ) )  ->  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) }  <->  ( y  e.  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' G ) ) ) : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) }  <->  ( y  e.  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' G ) ) ) : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } )
2723, 26sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } )
28 eqid 2461 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  x finSupp  (/) }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  (/) }
2928, 2, 3cantnfdm 8194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  x finSupp  (/) } )
30 oef1o.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
3130breq2d 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x finSupp  ( F `
 (/) )  <->  x finSupp  (/) ) )
3231rabbidv 3047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  (/) } )
3329, 32eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } )
34 f1oeq3 5829 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( C CNF  D )  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  x finSupp  ( F `  (/) ) }  ->  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } ) )
3533, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  x finSupp  ( F `  (/) ) } ) )
3627, 35mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
375, 16, 13cantnfdm 8194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } )
38 f1oeq2 5828 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A CNF  B )  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) }  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
3937, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  x finSupp  (/) } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
4036, 39mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
41 f1oco 5858 . . . 4  |-  ( ( ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D ) )  ->  ( ( C CNF  D )  o.  K
) : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
424, 40, 41syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
43 eqid 2461 . . . . 5  |-  dom  ( A CNF  B )  =  dom  ( A CNF  B )
4443, 16, 13cantnff1o 8226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
45 f1ocnv 5848 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF  B
)
-1-1-onto-> ( A  ^o  B )  ->  `' ( A CNF 
B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
4644, 45syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( A CNF  B
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
47 f1oco 5858 . . 3  |-  ( ( ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  `' ( A CNF  B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )  ->  ( (
( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B
) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
4842, 46, 47syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
49 oef1o.h . . 3  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
50 f1oeq1 5827 . . 3  |-  ( H  =  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
)  ->  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) ) )
5149, 50ax-mp 5 . 2  |-  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
5248, 51sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1454    e. wcel 1897   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412   (/)c0 3742   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   `'ccnv 4851   dom cdm 4852    o. ccom 4856   Oncon0 5441   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1oc1o 7200    ^o coe 7206    ^m cmap 7497   finSupp cfsupp 7908   CNF ccnf 8191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-seqom 7190  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-oexp 7213  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-oi 8050  df-cnf 8192
This theorem is referenced by:  infxpenc  8474
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