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Theorem oeeulem 7251
Description: Lemma for oeeu 7253. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
Assertion
Ref Expression
oeeulem  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem oeeulem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oeeu.1 . . 3  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
2 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
4 suceloni 6633 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  suc  B  e.  On )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  e.  On )
6 oeworde 7243 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  suc  B  e.  On )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
75, 6syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
8 sucidg 4956 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  suc  B )
93, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  suc  B )
107, 9sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )
11 oveq2 6293 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  B ) )
1211eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( B  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  B ) ) )
1312rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( suc  B  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
145, 10, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
15 onintrab2 6622 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
)  <->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1614, 15sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On )
17 onuni 6613 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
191, 18syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
20 sucidg 4956 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  On  ->  X  e.  suc  X )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  suc  X )
22 dif1o 7151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  <->  ( B  e.  On  /\  B  =/=  (/) ) )
2322simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  =/=  (/) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  =/=  (/) )
25 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  C_  On
26 rabn0 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
) )
2714, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/) )
28 onint 6615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } 
C_  On  /\  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
2925, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
30 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) 
->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  (/)  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
3129, 30syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  -> 
(/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
32 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3332eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3433elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( (/)  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) )
36 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
38 oe0 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  (/) )  =  1o )
4039eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  e.  1o ) )
41 el1o 7150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  1o  <->  B  =  (/) )
4240, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  =  (/) ) )
4335, 42syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  =  (/) ) )
4431, 43syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
4544necon3ad 2677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  =/=  (/)  ->  -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) ) )
4624, 45mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/) )
47 limuni 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
4847, 1syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
5029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
5149, 50eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
52 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  X
) )
5352eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( B  e.  ( A  ^o  y )  <->  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
54 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5554eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  y
) ) )
5655cbvrabv 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  {
y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
5753, 56elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  X
) ) )
5857simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  X
) )
5951, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  ( A  ^o  X ) )
6036ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  A  e.  On )
61 limeq 4890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  X  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6248, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6362ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  Lim  X )
6419, 63anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( X  e.  On  /\  Lim  X
) )
65 dif20el 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  (/)  e.  A )
67 oelim 7185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( X  e.  On  /\ 
Lim  X ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6860, 64, 66, 67syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6959, 68eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
70 eliun 4330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y ) )
7219adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  On )
73 onss 6611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  X  C_  On )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  C_  On )
7574sselda 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  On )
7649eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( y  e. 
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
y  e.  X ) )
7776biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
7855onnminsb 6624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y ) ) )
7975, 77, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8079nrexdv 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  -.  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8171, 80pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
82 ioran 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )  <->  ( -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/)  /\  -.  Lim  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8346, 81, 82sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
84 eloni 4888 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
85 unizlim 4994 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8616, 84, 853syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8783, 86mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
88 orduniorsuc 6650 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8916, 84, 883syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9089ord 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9187, 90mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
92 suceq 4943 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
931, 92ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
9491, 93syl6reqr 2527 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  =  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9521, 94eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9656inteqi 4286 . . . . 5  |-  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
9795, 96syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) } )
9853onnminsb 6624 . . . 4  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9919, 97, 98sylc 60 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) )
100 oecl 7188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
10137, 19, 100syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
102 ontri1 4912 . . . 4  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
103101, 3, 102syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10499, 103mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
10594, 29eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
106 oveq2 6293 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( A  ^o  y
)  =  ( A  ^o  suc  X ) )
107106eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( B  e.  ( A  ^o  y )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
108107, 56elrab2 3263 . . . 4  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( suc  X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
109108simprbi 464 . . 3  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
110105, 109syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
11119, 104, 1103jca 1176 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880  (class class class)co 6285   1oc1o 7124   2oc2o 7125    ^o coe 7130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-oexp 7137
This theorem is referenced by:  oeeui  7252  oeeu  7253
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