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Theorem oeeulem 7059
Description: Lemma for oeeu 7061. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
Assertion
Ref Expression
oeeulem  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem oeeulem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oeeu.1 . . 3  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
2 eldifi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
4 suceloni 6443 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  suc  B  e.  On )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  e.  On )
6 oeworde 7051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  suc  B  e.  On )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
75, 6syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
8 sucidg 4816 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  suc  B )
93, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  suc  B )
107, 9sseldd 3376 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )
11 oveq2 6118 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  B ) )
1211eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( B  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  B ) ) )
1312rspcev 3092 . . . . . 6  |-  ( ( suc  B  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
145, 10, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
15 onintrab2 6432 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
)  <->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1614, 15sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On )
17 onuni 6423 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
191, 18syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
20 sucidg 4816 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  On  ->  X  e.  suc  X )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  suc  X )
22 dif1o 6959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  <->  ( B  e.  On  /\  B  =/=  (/) ) )
2322simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  =/=  (/) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  =/=  (/) )
25 ssrab2 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  C_  On
26 rabn0 3676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
) )
2714, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/) )
28 onint 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } 
C_  On  /\  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
2925, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
30 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) 
->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  (/)  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
3129, 30syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  -> 
(/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
32 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3332eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3433elrab 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( (/)  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) )
36 eldifi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
38 oe0 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  (/) )  =  1o )
4039eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  e.  1o ) )
41 el1o 6958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  1o  <->  B  =  (/) )
4240, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  =  (/) ) )
4335, 42syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  =  (/) ) )
4431, 43syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
4544necon3ad 2666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  =/=  (/)  ->  -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) ) )
4624, 45mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/) )
47 limuni 4798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
4847, 1syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
5029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
5149, 50eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
52 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  X
) )
5352eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( B  e.  ( A  ^o  y )  <->  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
54 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5554eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  y
) ) )
5655cbvrabv 2990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  {
y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
5753, 56elrab2 3138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  X
) ) )
5857simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  X
) )
5951, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  ( A  ^o  X ) )
6036ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  A  e.  On )
61 limeq 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  X  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6248, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6362ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  Lim  X )
6419, 63anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( X  e.  On  /\  Lim  X
) )
65 dif20el 6964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  (/)  e.  A )
67 oelim 6993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( X  e.  On  /\ 
Lim  X ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6860, 64, 66, 67syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6959, 68eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
70 eliun 4194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y ) )
7219adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  On )
73 onss 6421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  X  C_  On )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  C_  On )
7574sselda 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  On )
7649eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( y  e. 
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
y  e.  X ) )
7776biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
7855onnminsb 6434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y ) ) )
7975, 77, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8079nrexdv 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  -.  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8171, 80pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
82 ioran 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )  <->  ( -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/)  /\  -.  Lim  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8346, 81, 82sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
84 eloni 4748 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
85 unizlim 4854 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8616, 84, 853syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8783, 86mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
88 orduniorsuc 6460 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8916, 84, 883syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9089ord 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9187, 90mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
92 suceq 4803 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
931, 92ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
9491, 93syl6reqr 2494 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  =  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9521, 94eleqtrd 2519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9656inteqi 4151 . . . . 5  |-  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
9795, 96syl6eleq 2533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) } )
9853onnminsb 6434 . . . 4  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9919, 97, 98sylc 60 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) )
100 oecl 6996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
10137, 19, 100syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
102 ontri1 4772 . . . 4  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
103101, 3, 102syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10499, 103mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
10594, 29eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
106 oveq2 6118 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( A  ^o  y
)  =  ( A  ^o  suc  X ) )
107106eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( B  e.  ( A  ^o  y )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
108107, 56elrab2 3138 . . . 4  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( suc  X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
109108simprbi 464 . . 3  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
110105, 109syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
11119, 104, 1103jca 1168 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   E.wrex 2735   {crab 2738    \ cdif 3344    C_ wss 3347   (/)c0 3656   U.cuni 4110   |^|cint 4147   U_ciun 4190   Ord word 4737   Oncon0 4738   Lim wlim 4739   suc csuc 4740  (class class class)co 6110   1oc1o 6932   2oc2o 6933    ^o coe 6938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-oexp 6945
This theorem is referenced by:  oeeui  7060  oeeu  7061
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