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Theorem oeeui 6804
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (This version of oeeu 6805 gives an explicit expression for the unique solution of the equation, in terms of the solution  P to omeu 6787.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
oeeu.2  |-  P  =  ( iota w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
oeeu.3  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
oeeu.4  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
Assertion
Ref Expression
oeeui  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z    w, X, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    P( x, y, z, w)    E( x, y, z, w)    X( x)    Y( x, y, z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem oeeui
Dummy variables  a 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
21adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
32ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  A  e.  On )
4 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  e.  On )
5 oecl 6740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  On )
7 om1 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  1o )  =  ( A  ^o  C ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  1o )  =  ( A  ^o  C ) )
9 df1o2 6695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =  { (/) }
10 dif1o 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  <->  ( D  e.  A  /\  D  =/=  (/) ) )
1110simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  ->  D  =/=  (/) )
1211ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  =/=  (/) )
13 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  ->  D  e.  A )
1413ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  e.  A )
15 onelon 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  D  e.  A )  ->  D  e.  On )
163, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  e.  On )
17 on0eln0 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  On  ->  ( (/) 
e.  D  <->  D  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( (/)  e.  D  <->  D  =/=  (/) ) )
1912, 18mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  D )
2019snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  { (/) }  C_  D
)
219, 20syl5eqss 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  1o  C_  D )
22 1on 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  On
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  1o  e.  On )
24 omwordi 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  D  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  D  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  1o ) 
C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) ) )
2523, 16, 6, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( 1o  C_  D  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  1o )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) ) )
2621, 25mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  1o )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) )
278, 26eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) )
28 omcl 6739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  D  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
296, 16, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
30 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  E  e.  ( A  ^o  C ) )
31 onelon 4566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  ->  E  e.  On )
326, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  E  e.  On )
33 oaword1 6754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On  /\  E  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
3429, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
35 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )
3634, 35sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  B )
3727, 36sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  B )
38 oeeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
3938oeeulem 6803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
4039simp3d 971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
4239simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  e.  On )
44 suceloni 4752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  suc  X  e.  On )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  X  e.  On )
46 oecl 6740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  X )  e.  On )
473, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  X )  e.  On )
48 ontr2 4588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( A  ^o  suc  X
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  C ) 
C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )  ->  ( A  ^o  C )  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
496, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X
) )  ->  ( A  ^o  C )  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
5037, 41, 49mp2and 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
51 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
52 oeord 6790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  On  /\  suc  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( C  e.  suc  X  <-> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
534, 45, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  e.  suc  X  <-> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
5450, 53mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  e.  suc  X )
55 onsssuc 4628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( C  C_  X  <->  C  e.  suc  X ) )
564, 43, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  C_  X  <->  C  e.  suc  X ) )
5754, 56mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  C_  X )
5839simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
5958ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
60 eloni 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
613, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  Ord  A )
62 ordsucss 4757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( D  e.  A  ->  suc  D  C_  A ) )
6361, 14, 62sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  D  C_  A )
64 suceloni 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  On  ->  suc  D  e.  On )
6516, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  D  e.  On )
66 dif20el 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6751, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  A )
68 oen0 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )
693, 4, 67, 68syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )
70 omword 6772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( suc  D  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )  ->  ( suc  D 
C_  A  <->  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A
) ) )
7165, 3, 6, 69, 70syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( suc  D  C_  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  suc  D
)  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
7263, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  suc  D )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
73 oaord 6749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On  /\  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  On )  -> 
( E  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) ) )
7432, 6, 29, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( E  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) ) )
7530, 74mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
7635, 75eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
77 odi 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  D  e.  On  /\  1o  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  ( ( A  ^o  C )  .o  1o ) ) )
786, 16, 23, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  ( ( A  ^o  C )  .o  1o ) ) )
79 oa1suc 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  On  ->  ( D  +o  1o )  =  suc  D )
8016, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( D  +o  1o )  =  suc  D )
8180oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D ) )
828oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  (
( A  ^o  C
)  .o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
8378, 81, 823eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  suc  D )  =  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
8476, 83eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D ) )
8572, 84sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
86 oesuc 6730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
873, 4, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
8885, 87eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  C ) )
89 oecl 6740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
903, 43, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
91 suceloni 4752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  On  ->  suc  C  e.  On )
9291ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  C  e.  On )
93 oecl 6740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
943, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  On )
95 ontr2 4588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  X ) 
C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  C ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9690, 94, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9759, 88, 96mp2and 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) )
98 oeord 6790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  On  /\  suc  C  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( X  e.  suc  C  <-> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9943, 92, 51, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( X  e.  suc  C  <-> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
10097, 99mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  e.  suc  C )
101 onsssuc 4628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( X  C_  C  <->  X  e.  suc  C ) )
10243, 4, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( X  C_  C  <->  X  e.  suc  C ) )
103100, 102mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  C_  C )
10457, 103eqssd 3325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  =  X )
105104, 16jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  =  X  /\  D  e.  On ) )
106 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  C  =  X )
10742ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  X  e.  On )
108106, 107eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  C  e.  On )
1092ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  A  e.  On )
110109, 108, 5syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  On )
111 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  On )
112110, 111, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
113 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  E  e.  ( A  ^o  C ) )
114110, 113, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  E  e.  On )
115112, 114, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
116 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )
117115, 116sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  B )
11840ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
119 suceq 4606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  X  ->  suc  C  =  suc  X )
120119ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  suc  C  =  suc  X
)
121120oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( A  ^o  suc  X ) )
122109, 108, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
123121, 122eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  X )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
124118, 123eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
125 omcl 6739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )
126110, 109, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )
127 ontr2 4588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On  /\  ( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )  ->  ( ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D ) 
C_  B  /\  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A
) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
128112, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  C_  B  /\  B  e.  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) ) )
129117, 124, 128mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
13066adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (/) 
e.  A )
131130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  (/) 
e.  A )
132109, 108, 131, 68syl21anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )
133 omord2 6769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )  -> 
( D  e.  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
134111, 109, 110, 132, 133syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  e.  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
135129, 134mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  A )
136106oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  =  ( A  ^o  X ) )
13758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
138136, 137eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  B )
139 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
140139adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
141140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  On )
142 ontri1 4575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
143110, 141, 142syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
144138, 143mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) )
145 om0 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  =  (/) )
146110, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  =  (/) )
147146oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  =  ( (/)  +o  E ) )
148 oa0r 6741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  On  ->  ( (/) 
+o  E )  =  E )
149114, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( (/)  +o  E )  =  E )
150147, 149eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  =  E )
151150, 113eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  e.  ( A  ^o  C ) )
152 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) ) )
153152oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
) )
154153eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  e.  ( A  ^o  C )  <->  ( (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  +o  E )  e.  ( A  ^o  C ) ) )
155151, 154syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
156116eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
157155, 156sylibd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  =  (/)  ->  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
158157necon3bd 2604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( -.  B  e.  ( A  ^o  C
)  ->  D  =/=  (/) ) )
159144, 158mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  =/=  (/) )
160135, 159, 10sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  ( A  \  1o ) )
161108, 160jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o ) ) )
162105, 161impbida 806 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  ->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  <->  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) ) )
163162ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( E  e.  ( A  ^o  C
)  /\  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  ->  (
( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o ) )  <-> 
( C  =  X  /\  D  e.  On ) ) ) )
164163pm5.32rd 622 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( ( C  =  X  /\  D  e.  On )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) )
165 anass 631 . . . 4  |-  ( ( ( C  =  X  /\  D  e.  On )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C
)  /\  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) )
166164, 165syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) ) )
167 3anass 940 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
168 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  X  ->  ( A  ^o  C )  =  ( A  ^o  X
) )
169168eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( C  =  X  ->  ( E  e.  ( A  ^o  C )  <->  E  e.  ( A  ^o  X ) ) )
170168oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  X  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  D ) )
171170oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  X  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E ) )
172171eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( C  =  X  ->  (
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )
173169, 1723anbi23d 1257 . . . . . 6  |-  ( C  =  X  ->  (
( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X )  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E
)  =  B ) ) )
174167, 173syl5bbr 251 . . . . 5  |-  ( C  =  X  ->  (
( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) ) )
1752, 42, 89syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
176 oen0 6788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  X ) )
1772, 42, 130, 176syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  X ) )
178 ne0i 3594 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( A  ^o  X
)  ->  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )
179177, 178syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  =/=  (/) )
180 omeu 6787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )  ->  E! a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( a  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B ) )
181 oeeu.2 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( iota w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
182 opeq1 3944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  d  ->  <. y ,  z >.  =  <. d ,  z >. )
183182eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  d  ->  (
w  =  <. y ,  z >.  <->  w  =  <. d ,  z >.
) )
184 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  d  ->  (
( A  ^o  X
)  .o  y )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  d ) )
185184oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z ) )
186185eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  d )  +o  z )  =  B ) )
187183, 186anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  d  ->  (
( w  =  <. y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  ( w  =  <. d ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z )  =  B ) ) )
188 opeq2 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  e  ->  <. d ,  z >.  =  <. d ,  e >. )
189188eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  e  ->  (
w  =  <. d ,  z >.  <->  w  =  <. d ,  e >.
) )
190 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  e  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  z )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e ) )
191190eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  e  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  d )  +o  e )  =  B ) )
192189, 191anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  e  ->  (
( w  =  <. d ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  z )  =  B )  <->  ( w  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) ) )
193187, 192cbvrex2v 2901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B ) )
194 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  a  ->  (
w  =  <. d ,  e >.  <->  a  =  <. d ,  e >.
) )
195194anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  a  ->  (
( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B )  <->  ( a  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) ) )
1961952rexbidv 2709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  a  ->  ( E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) ) )
197193, 196syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  a  ->  ( E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) ) )
198197cbviotav 5383 . . . . . . . . 9  |-  ( iota
w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  =  ( iota a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) )
199181, 198eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( iota a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( a  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) )
200 oeeu.3 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
201 oeeu.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
202 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( A  ^o  X
)  .o  d )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  D ) )
203202oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  e ) )
204203eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  e )  =  B ) )
205 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  D
)  +o  e )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E ) )
206205eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  e
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )
207199, 200, 201, 204, 206opiota 6494 . . . . . . 7  |-  ( E! a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B )  ->  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
208180, 207syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )  ->  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X )  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
209175, 140, 179, 208syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
210174, 209sylan9bbr 682 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  C  =  X )  ->  (
( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
211210pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) ) )
212166, 211bitrd 245 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) ) )
213 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  <->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) ) )
214213anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )
215 anass 631 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
216214, 215bitri 241 . 2  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
217 3anass 940 . 2  |-  ( ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z
) ) )
218212, 216, 2173bitr4g 280 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2254    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   |^|cint 4010   Ord word 4540   Oncon0 4541   suc csuc 4543   iotacio 5375   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   1oc1o 6676   2oc2o 6677    +o coa 6680    .o comu 6681    ^o coe 6682
This theorem is referenced by:  oeeu  6805  cantnflem3  7603  cantnflem4  7604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689
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