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Theorem oeeu 6805
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z

Proof of Theorem oeeu
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }
21oeeulem 6803 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On  /\  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ) )
32simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On )
4 elex 2924 . . . 4  |-  ( U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  On  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  _V )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  _V )
6 fvex 5701 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
8 fvex 5701 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
10 eqid 2404 . . . 4  |-  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )  =  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )
11 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
12 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
131, 10, 11, 12oeeui 6804 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  ( x  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  /\  y  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  /\  z  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) ) ) ) )
145, 7, 9, 13euotd 4417 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
15 df-3an 938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) ) )
16 ancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1715, 16bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1817anbi1i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B )  <-> 
( ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
1918anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
20 an12 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( (
z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
21 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2219, 20, 213bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2322exbii 1589 . . . . . 6  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) ) )
24 df-rex 2672 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
25 r19.42v 2822 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <-> 
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
2623, 24, 253bitr2i 265 . . . . 5  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
27262exbii 1590 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x E. y
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
28 r2ex 2704 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x
) ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
2927, 28bitr4i 244 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  ( A 
\  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3029eubii 2263 . 2  |-  ( E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3114, 30sylib 189 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2254   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   <.cop 3777   <.cotp 3778   U.cuni 3975   |^|cint 4010   Oncon0 4541   suc csuc 4543   iotacio 5375   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   1oc1o 6676   2oc2o 6677    +o coa 6680    .o comu 6681    ^o coe 6682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689
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