MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1 Structured version   Unicode version

Theorem oe1 7185
Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  1o )  =  A )

Proof of Theorem oe1
StepHypRef Expression
1 df-1o 7122 . . . 4  |-  1o  =  suc  (/)
21oveq2i 6281 . . 3  |-  ( A  ^o  1o )  =  ( A  ^o  suc  (/) )
3 peano1 6692 . . . 4  |-  (/)  e.  om
4 onesuc 7172 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  (/) )  =  ( ( A  ^o  (/) )  .o  A ) )
53, 4mpan2 669 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  (/) )  =  ( ( A  ^o  (/) )  .o  A ) )
62, 5syl5eq 2507 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  1o )  =  ( ( A  ^o  (/) )  .o  A ) )
7 oe0 7164 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
87oveq1d 6285 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  ^o  (/) )  .o  A )  =  ( 1o  .o  A ) )
9 om1r 7184 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( 1o  .o  A )  =  A )
106, 8, 93eqtrd 2499 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  1o )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   (/)c0 3783   Oncon0 4867   suc csuc 4869  (class class class)co 6270   omcom 6673   1oc1o 7115    .o comu 7120    ^o coe 7121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-oexp 7128
This theorem is referenced by:  omabs  7288  cnfcom3lem  8138  cnfcom3lemOLD  8146  infxpenc2  8390  infxpenc2OLD  8394
  Copyright terms: Public domain W3C validator