MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Structured version   Unicode version

Theorem oe0m0 7057
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 4867 . 2  |-  (/)  e.  On
2 oe0m 7055 . . 3  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  ^o  (/) )  =  ( 1o  \  (/) ) )
3 dif0 3844 . . 3  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
42, 3syl6eq 2507 . 2  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o )
51, 4ax-mp 5 1  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3420   (/)c0 3732   Oncon0 4814  (class class class)co 6187   1oc1o 7010    ^o coe 7016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fv 5521  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oexp 7023
This theorem is referenced by:  oe0  7059  oev2  7060  oesuclem  7062  oecl  7074  oeoa  7133  oeoe  7135
  Copyright terms: Public domain W3C validator