Theorem oe0m 5202

Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa.

Assertion

Ref	Expression
oe0m	|- (A e. On -> ((/) ^o A) = (1o \ A))

Proof of Theorem oe0m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3716	. . 3 |- (/) e. On
2		oev 5198	. . 3 |- (((/) e. On /\ A e. On) -> ((/) ^o A) = if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)))
3	1, 2	mpan 759	. 2 |- (A e. On -> ((/) ^o A) = if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)))
4		eqid 1884	. . 3 |- (/) = (/)
5		iftrue 2989	. . 3 |- ((/) = (/) -> if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)) = (1o \ A))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)) = (1o \ A)
7	3, 6	syl6eq 1944	1 |- (A e. On -> ((/) ^o A) = (1o \ A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590  (/)c0 2875  ifcif 2982  {copab 3395  Oncon0 3657  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  1oc1o 5172   .o comu 5175   ^o coe 5176

This theorem is referenced by:  oe0m0 5204  oe0m1 5205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oexp 5181

Copyright terms: Public domain