Theorem oe0 5206

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oe0	|- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)

Proof of Theorem oe0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o (/)) = ((/) ^o (/)))
2		oe0m0 5204	. . . . 5 |- ((/) ^o (/)) = 1o
3	1, 2	syl6eq 1944	. . . 4 |- (A = (/) -> (A ^o (/)) = 1o)
4	3	adantl 424	. . 3 |- ((A e. On /\ A = (/)) -> (A ^o (/)) = 1o)
5		0elon 3716	. . . . . 6 |- (/) e. On
6		oevn0 5199	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ (/) e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` (/)))
7	5, 6	mpanl2 771	. . . . 5 |- ((A e. On /\ (/) e. A) -> (A ^o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` (/)))
8		1on 5182	. . . . . . 7 |- 1o e. On
9	8	elisseti 2301	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	rdg0 5149	. . . . 5 |- (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` (/)) = 1o
11	7, 10	syl6eq 1944	. . . 4 |- ((A e. On /\ (/) e. A) -> (A ^o (/)) = 1o)
12	11	adantll 428	. . 3 |- (((A e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o (/)) = 1o)
13	4, 12	oe0lem 5197	. 2 |- ((A e. On /\ A e. On) -> (A ^o (/)) = 1o)
14	13	anidms 480	1 |- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  {copab 3395  Oncon0 3657  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  1oc1o 5172   .o comu 5175   ^o coe 5176

This theorem is referenced by:  oecl 5218  oeclOLD 5219  oe1 5225  oe1m 5226  oen0 5261  oewordri 5267  oeoalem 5271  oeoelem 5273  oeoe 5274  nnecl 5285  nneclOLD 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oexp 5181

Copyright terms: Public domain