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Theorem odzdvdsOLD 14745
Description: The only powers of  A that are congruent to  1 are the multiples of the order of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) Obsolete version of odzdvds 14739 as of 26-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
odzdvdsOLD  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  ||  K )
)

Proof of Theorem odzdvdsOLD
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10885 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
21adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
3 odzclOLD 14743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN )
43adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN )
54nnrpd 11346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR+ )
6 modlt 12113 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR+ )  ->  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  <  (
( odZ `  N ) `  A
) )
72, 5, 6syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  <  (
( odZ `  N ) `  A
) )
8 nn0z 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
98adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 12123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN0 )
1110nn0red 10933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  RR )
124nnred 10631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR )
1311, 12ltnled 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  <  (
( odZ `  N ) `  A
)  <->  -.  ( ( odZ `  N ) `
 A )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
147, 13mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  -.  ( ( odZ `  N ) `  A
)  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )
15 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )
1615oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  ->  (
( A ^ n
)  -  1 )  =  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) )
1716breq2d 4435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  ->  ( N  ||  ( ( A ^ n )  - 
1 )  <->  N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 ) ) )
1817elrab 3228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  <->  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN  /\  N  ||  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
19 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  C_  NN
20 nnuz 11201 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2119, 20sseqtri 3496 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
22 infmssuzleOLD 11253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } 
C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  e.  {
n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  - 
1 ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )
2321, 22mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )
2418, 23sylbir 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN  /\  N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 ) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )
2524ancoms 454 . . . . . . 7  |-  ( ( N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )
26 odzvalOLD 14741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( odZ `  N ) `  A
)  =  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
2726adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  =  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
2827breq1d 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  <->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
2925, 28syl5ibr 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( N  ||  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN )  ->  (
( odZ `  N ) `  A
)  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
3014, 29mtod 180 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  -.  ( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN ) )
31 imnan 423 . . . . 5  |-  ( ( N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  ->  -.  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN ) 
<->  -.  ( N  ||  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN ) )
3230, 31sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  ->  -.  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN ) )
33 elnn0 10878 . . . . . 6  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN0  <->  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN  \/  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  =  0 ) )
3410, 33sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN  \/  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
3534ord 378 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN  ->  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
3632, 35syld 45 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
37 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
3837nnzd 11046 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
39 dvds0 14317 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )
4038, 39syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  ||  0 )
41 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
4241zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
4342exp0d 12416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 0 )  =  1 )
4443oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
0 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
45 1m1e0 10685 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4644, 45syl6eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
0 )  -  1 )  =  0 )
4740, 46breqtrrd 4450 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  ||  ( ( A ^ 0 )  - 
1 ) )
48 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0  -> 
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  =  ( A ^
0 ) )
4948oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0  -> 
( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 )  =  ( ( A ^ 0 )  -  1 ) )
5049breq2d 4435 . . . 4  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  <->  N  ||  (
( A ^ 0 )  -  1 ) ) )
5147, 50syl5ibrcom 225 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  =  0  ->  N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 ) ) )
5236, 51impbid 193 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  <->  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
534nnnn0d 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN0 )
542, 4nndivred 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  RR )
55 nn0ge0 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
5655adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
574nngt0d 10660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( ( odZ `  N ) `
 A ) )
58 ge0div 10479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  -> 
( 0  <_  K  <->  0  <_  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
592, 12, 57, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  K  <->  0  <_  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
6056, 59mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )
61 flge0nn0 12060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  e. 
NN0 )
6254, 60, 61syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  NN0 )
6353, 62nn0mulcld 10937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  e.  NN0 )
64 zexpcl 12293 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  ZZ )
6541, 63, 64syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  ZZ )
6665zred 11047 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
67 1red 9665 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
68 zexpcl 12293 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ )
6941, 10, 68syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ )
7037nnrpd 11346 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR+ )
7142, 62, 53expmuld 12425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
) ^ ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )
7271oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
) ^ ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N ) )
73 zexpcl 12293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  ZZ )
7441, 53, 73syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  ZZ )
75 1zzd 10975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
76 odzidOLD 14744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( A ^
( ( odZ `  N ) `  A
) )  -  1 ) )
7776adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  ||  ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  - 
1 ) )
78 moddvds 14311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  - 
1 ) ) )
7937, 74, 75, 78syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  - 
1 ) ) )
8077, 79mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( odZ `  N ) `  A
) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N ) )
81 modexp 12413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A ^
( ( odZ `  N ) `  A
) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  e. 
NN0  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
)  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )  -> 
( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ^
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1 ^ ( |_ `  ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N ) )
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ^
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1 ^ ( |_ `  ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N ) )
8354flcld 12040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ )
84 1exp 12307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  1 )
8583, 84syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  1 )
8685oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 1 ^ ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )
8772, 82, 863eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )
88 modmul1 12149 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  RR+ )  /\  (
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )  -> 
( ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N ) )
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1275 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N ) )
9042, 10, 63expaddd 12424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )
91 modval 12104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR+ )  ->  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  ( K  -  ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) ) )
922, 5, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  ( K  -  ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) ) )
9392oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  =  ( ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  +  ( K  -  ( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) ) ) )
9463nn0cnd 10934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  e.  CC )
952recnd 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
9694, 95pncan3d 9996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  +  ( K  -  ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) ) )  =  K )
9793, 96eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  =  K )
9897oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( A ^ K ) )
9990, 98eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( A ^ K ) )
10099oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N )  =  ( ( A ^ K )  mod  N
) )
10169zcnd 11048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  CC )
102101mulid2d 9668 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
103102oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N ) )
10489, 100, 1033eqtr3d 2471 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^ K )  mod  N
)  =  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  mod  N ) )
105104eqeq1d 2424 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ K )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N ) ) )
106 zexpcl 12293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ K
)  e.  ZZ )
10741, 106sylancom 671 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ K
)  e.  ZZ )
108 moddvds 14311 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ K )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^ K )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 ) ) )
10937, 107, 75, 108syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ K )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ K )  - 
1 ) ) )
110 moddvds 14311 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
11137, 69, 75, 110syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
112105, 109, 1113bitr3d 286 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
113 dvdsval3 14308 . . 3  |-  ( ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( odZ `  N ) `  A )  ||  K  <->  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0 ) )
1144, 9, 113syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  ||  K  <->  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0 ) )
11552, 112, 1143bitr4d 288 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  ||  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   |_cfl 12032    mod cmo 12102   ^cexp 12278    || cdvds 14304    gcd cgcd 14467   odZcodzold 14709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-odzOLD 14712  df-phi 14713
This theorem is referenced by:  odzphiOLD  14746
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