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Theorem odzdvds 14180
Description: The only powers of  A that are congruent to  1 are the multiples of the order of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
odzdvds  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  ||  K )
)

Proof of Theorem odzdvds
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10803 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
21adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
3 odzcl 14178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN )
43adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN )
54nnrpd 11254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR+ )
6 modlt 11973 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR+ )  ->  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  <  (
( odZ `  N ) `  A
) )
72, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  <  (
( odZ `  N ) `  A
) )
8 nn0z 10886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 11983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN0 )
1110nn0red 10852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  RR )
124nnred 10550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR )
1311, 12ltnled 9730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  <  (
( odZ `  N ) `  A
)  <->  -.  ( ( odZ `  N ) `
 A )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
147, 13mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  -.  ( ( odZ `  N ) `  A
)  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )
15 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )
1615oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  ->  (
( A ^ n
)  -  1 )  =  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) )
1716breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  ->  ( N  ||  ( ( A ^ n )  - 
1 )  <->  N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 ) ) )
1817elrab 3261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  <->  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN  /\  N  ||  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
19 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  C_  NN
20 nnuz 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2119, 20sseqtri 3536 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
22 infmssuzle 11163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } 
C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  e.  {
n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  - 
1 ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) }  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )
2418, 23sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN  /\  N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 ) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )
2524ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^
n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )
26 odzval 14176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( odZ `  N ) `  A
)  =  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  =  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
2827breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  <->  sup ( { n  e.  NN  |  N  ||  ( ( A ^ n )  -  1 ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( N  ||  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN )  ->  (
( odZ `  N ) `  A
)  <_  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
3014, 29mtod 177 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  -.  ( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN ) )
31 imnan 422 . . . . 5  |-  ( ( N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  ->  -.  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN ) 
<->  -.  ( N  ||  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 )  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN ) )
3230, 31sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  ->  -.  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN ) )
33 elnn0 10796 . . . . . 6  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN0  <->  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN  \/  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  =  0 ) )
3410, 33sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  e.  NN  \/  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
3534ord 377 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  e.  NN  ->  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
3632, 35syld 44 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
37 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
3837nnzd 10964 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
39 dvds0 13859 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  ||  0 )
41 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
4241zcnd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
4342exp0d 12271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 0 )  =  1 )
4443oveq1d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
0 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
45 1m1e0 10603 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4644, 45syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
0 )  -  1 )  =  0 )
4740, 46breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  ||  ( ( A ^ 0 )  - 
1 ) )
48 oveq2 6291 . . . . . 6  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0  -> 
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  =  ( A ^
0 ) )
4948oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0  -> 
( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 )  =  ( ( A ^ 0 )  -  1 ) )
5049breq2d 4459 . . . 4  |-  ( ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  <->  N  ||  (
( A ^ 0 )  -  1 ) ) )
5147, 50syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  =  0  ->  N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 ) ) )
5236, 51impbid 191 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  -  1 )  <->  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) )  =  0 ) )
534nnnn0d 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN0 )
542, 4nndivred 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  RR )
55 nn0ge0 10820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
574nngt0d 10578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( ( odZ `  N ) `
 A ) )
58 ge0div 10408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( odZ `  N ) `  A ) )  -> 
( 0  <_  K  <->  0  <_  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
592, 12, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  K  <->  0  <_  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )
61 flge0nn0 11921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  e. 
NN0 )
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  NN0 )
6353, 62nn0mulcld 10856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  e.  NN0 )
64 zexpcl 12148 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  ZZ )
6541, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  ZZ )
6665zred 10965 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
67 1red 9610 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
68 zexpcl 12148 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ )
6941, 10, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ )
7037nnrpd 11254 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR+ )
7142, 62, 53expmuld 12280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
) ^ ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )
7271oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
) ^ ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N ) )
73 zexpcl 12148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  ZZ )
7441, 53, 73syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( odZ `  N ) `  A
) )  e.  ZZ )
75 1zzd 10894 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
76 odzid 14179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( A ^
( ( odZ `  N ) `  A
) )  -  1 ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  ||  ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  - 
1 ) )
78 moddvds 13853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  - 
1 ) ) )
7937, 74, 75, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) )  - 
1 ) ) )
8077, 79mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( odZ `  N ) `  A
) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N ) )
81 modexp 12268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A ^
( ( odZ `  N ) `  A
) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  e. 
NN0  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( ( A ^ ( ( odZ `  N
) `  A )
)  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )  -> 
( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ^
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1 ^ ( |_ `  ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N ) )
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ^
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1 ^ ( |_ `  ( K  /  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N ) )
8354flcld 11902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ )
84 1exp 12162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  1 )
8583, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  1 )
8685oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 1 ^ ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )
8772, 82, 863eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )
88 modmul1 12007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  RR+ )  /\  (
( A ^ (
( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  mod  N )  =  ( 1  mod 
N ) )  -> 
( ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N ) )
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1239 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N )  =  ( ( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N ) )
9042, 10, 63expaddd 12279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )
91 modval 11965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  RR+ )  ->  ( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  ( K  -  ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) ) )
922, 5, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) )  =  ( K  -  ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) ) )
9392oveq2d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  =  ( ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  x.  ( |_
`  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  +  ( K  -  ( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) ) ) )
9463nn0cnd 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  e.  CC )
952recnd 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
9694, 95pncan3d 9932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  +  ( K  -  ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) ) )  =  K )
9793, 96eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  =  K )
9897oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  +  ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( A ^ K ) )
9990, 98eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
( ( ( odZ `  N ) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  / 
( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( A ^ K ) )
10099oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( ( odZ `  N
) `  A )  x.  ( |_ `  ( K  /  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) ) )  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  mod  N )  =  ( ( A ^ K )  mod  N
) )
10169zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  CC )
102101mulid2d 9613 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) ) )  =  ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) ) )
103102oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  x.  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N ) )
10489, 100, 1033eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^ K )  mod  N
)  =  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  mod  N ) )
105104eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ K )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N ) ) )
106 zexpcl 12148 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ K
)  e.  ZZ )
10741, 106sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ K
)  e.  ZZ )
108 moddvds 13853 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ K )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^ K )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 ) ) )
10937, 107, 75, 108syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ K )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ K )  - 
1 ) ) )
110 moddvds 13853 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( K  mod  (
( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
11137, 69, 75, 110syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
112105, 109, 1113bitr3d 283 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 )  <-> 
N  ||  ( ( A ^ ( K  mod  ( ( odZ `  N ) `  A
) ) )  - 
1 ) ) )
113 dvdsval3 13850 . . 3  |-  ( ( ( ( odZ `  N ) `  A
)  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( odZ `  N ) `  A )  ||  K  <->  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0 ) )
1144, 9, 113syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( odZ `  N ) `  A )  ||  K  <->  ( K  mod  ( ( odZ `  N
) `  A )
)  =  0 ) )
11552, 112, 1143bitr4d 285 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ K
)  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  N ) `  A
)  ||  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supcsup 7899   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804    / cdiv 10205   NNcn 10535   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   RR+crp 11219   |_cfl 11894    mod cmo 11963   ^cexp 12133    || cdivides 13846    gcd cgcd 14002   odZcodz 14151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-dvds 13847  df-gcd 14003  df-odz 14153  df-phi 14154
This theorem is referenced by:  odzphi  14181  pockthlem  14281
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