MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odval Structured version   Unicode version

Theorem odval 16052
Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odval.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odval.3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
odval.4  |-  O  =  ( od `  G
)
odval.i  |-  I  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
Assertion
Ref Expression
odval  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, G    y,  .x.    y,  .0.
Allowed substitution hints:    I( y)    O( y)    X( y)

Proof of Theorem odval
Dummy variables  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
y  .x.  x )  =  ( y  .x.  A ) )
21eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) )
32rabbidv 2979 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  x )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )
4 odval.i . . . . 5  |-  I  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
53, 4syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  x )  =  .0.  }  =  I )
65csbeq1d 3310 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  [_ {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  x
)  =  .0.  }  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  = 
[_ I  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup ( i ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7 nnex 10343 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87rabex 4458 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  e.  _V
94, 8eqeltri 2513 . . . 4  |-  I  e. 
_V
10 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ i if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup (
I ,  RR ,  `'  <  ) )
11 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  (
i  =  (/)  <->  I  =  (/) ) )
12 supeq1 7710 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  sup ( i ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) )
1311, 12ifbieq2d 3829 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
149, 10, 13csbief 3328 . . 3  |-  [_ I  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) )
156, 14syl6eq 2491 . 2  |-  ( x  =  A  ->  [_ {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  x
)  =  .0.  }  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
16 odval.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
17 odval.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
18 odval.3 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
19 odval.4 . . 3  |-  O  =  ( od `  G
)
2016, 17, 18, 19odfval 16051 . 2  |-  O  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  x )  =  .0.  }  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup ( i ,  RR ,  `'  <  ) ) )
21 c0ex 9395 . . 3  |-  0  e.  _V
22 gtso 9471 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
2322supex 7728 . . 3  |-  sup (
I ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
2421, 23ifex 3873 . 2  |-  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
2515, 20, 24fvmpt 5789 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2734   _Vcvv 2987   [_csb 3303   (/)c0 3652   ifcif 3806   `'ccnv 4854   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   supcsup 7705   RRcr 9296   0cc0 9297    < clt 9433   NNcn 10337   Basecbs 14189   0gc0g 14393  .gcmg 15429   odcod 16043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-ltxr 9438  df-nn 10338  df-od 16047
This theorem is referenced by:  odlem1  16053  odlem2  16057  submod  16083  ofldchr  26297
  Copyright terms: Public domain W3C validator