Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odutos Structured version   Unicode version

Theorem odutos 27443
Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
odutos.d  |-  D  =  (ODual `  K )
Assertion
Ref Expression
odutos  |-  ( K  e. Toset  ->  D  e. Toset )

Proof of Theorem odutos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 27438 . . . 4  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
2 odutos.d . . . . 5  |-  D  =  (ODual `  K )
32odupos 15634 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  D  e.  Poset
)
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( K  e. Toset  ->  D  e.  Poset )
5 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
75, 6tleile 27441 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( y
( le `  K
) x  \/  x
( le `  K
) y ) )
8 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
9 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
108, 9brcnv 5190 . . . . . . . 8  |-  ( x `' ( le `  K ) y  <->  y ( le `  K ) x )
119, 8brcnv 5190 . . . . . . . 8  |-  ( y `' ( le `  K ) x  <->  x ( le `  K ) y )
1210, 11orbi12i 521 . . . . . . 7  |-  ( ( x `' ( le
`  K ) y  \/  y `' ( le `  K ) x )  <->  ( y
( le `  K
) x  \/  x
( le `  K
) y ) )
137, 12sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( K  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x `' ( le `  K ) y  \/  y `' ( le
`  K ) x ) )
14133com23 1202 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Toset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x `' ( le `  K ) y  \/  y `' ( le
`  K ) x ) )
15143expb 1197 . . . 4  |-  ( ( K  e. Toset  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( x `' ( le `  K ) y  \/  y `' ( le `  K
) x ) )
1615ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( K  e. Toset  ->  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x `' ( le
`  K ) y  \/  y `' ( le `  K ) x ) )
174, 16jca 532 . 2  |-  ( K  e. Toset  ->  ( D  e. 
Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( x `' ( le `  K
) y  \/  y `' ( le `  K ) x ) ) )
182, 5odubas 15632 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  D )
192, 6oduleval 15630 . . 3  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  D )
2018, 19istos 15534 . 2  |-  ( D  e. Toset 
<->  ( D  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x `' ( le
`  K ) y  \/  y `' ( le `  K ) x ) ) )
2117, 20sylibr 212 1  |-  ( K  e. Toset  ->  D  e. Toset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4452   `'ccnv 5003   ` cfv 5593   Basecbs 14502   lecple 14574   Posetcpo 15439  Tosetctos 15532  ODualcodu 15627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ple 14587  df-poset 15445  df-toset 15533  df-odu 15628
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  27698
  Copyright terms: Public domain W3C validator