Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odutos Structured version   Unicode version

Theorem odutos 28262
Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
odutos.d  |-  D  =  (ODual `  K )
Assertion
Ref Expression
odutos  |-  ( K  e. Toset  ->  D  e. Toset )

Proof of Theorem odutos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 28257 . . 3  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
2 odutos.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  K )
32odupos 16332 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  D  e.  Poset
)
41, 3syl 17 . 2  |-  ( K  e. Toset  ->  D  e.  Poset )
5 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
75, 6tleile 28260 . . . . . 6  |-  ( ( K  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( y
( le `  K
) x  \/  x
( le `  K
) y ) )
8 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
9 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
108, 9brcnv 5037 . . . . . . 7  |-  ( x `' ( le `  K ) y  <->  y ( le `  K ) x )
119, 8brcnv 5037 . . . . . . 7  |-  ( y `' ( le `  K ) x  <->  x ( le `  K ) y )
1210, 11orbi12i 523 . . . . . 6  |-  ( ( x `' ( le
`  K ) y  \/  y `' ( le `  K ) x )  <->  ( y
( le `  K
) x  \/  x
( le `  K
) y ) )
137, 12sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x `' ( le `  K ) y  \/  y `' ( le
`  K ) x ) )
14133com23 1211 . . . 4  |-  ( ( K  e. Toset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x `' ( le `  K ) y  \/  y `' ( le
`  K ) x ) )
15143expb 1206 . . 3  |-  ( ( K  e. Toset  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( x `' ( le `  K ) y  \/  y `' ( le `  K
) x ) )
1615ralrimivva 2853 . 2  |-  ( K  e. Toset  ->  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x `' ( le
`  K ) y  \/  y `' ( le `  K ) x ) )
172, 5odubas 16330 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  D )
182, 6oduleval 16328 . . 3  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  D )
1917, 18istos 16232 . 2  |-  ( D  e. Toset 
<->  ( D  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x `' ( le
`  K ) y  \/  y `' ( le `  K ) x ) ) )
204, 16, 19sylanbrc 668 1  |-  ( K  e. Toset  ->  D  e. Toset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lecple 15159   Posetcpo 16136  Tosetctos 16230  ODualcodu 16325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ple 15172  df-preset 16124  df-poset 16142  df-toset 16231  df-odu 16326
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  28568
  Copyright terms: Public domain W3C validator